当债权人死亡后，其继承人若希望申请执行原债权人的债权，需要遵循一系列法律步骤和程序。以下是一个详细且清晰的解答：
一、确认继承人身份及份额
确定继承顺序：
- 根据《中华人民共和国民法典》的规定，遗产的继承顺序为：第一顺序是配偶、子女、父母；第二顺序是兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。
- 继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承；若没有第一顺序继承人继承，则由第二顺序继承人继承。
办理继承权公证或诉讼：
- 如果所有继承人能够协商一致，可以共同到公证处办理继承权公证，明确各继承人的份额。
- 若存在争议或无法达成一致，可以向人民法院提起诉讼，通过司法程序确认继承权和各继承人的份额。
收集必要证据：
- 包括债权人的死亡证明、亲属关系证明（如户口本、结婚证等）、财产权属证明（如债权相关的合同、判决书等）。
二、准备申请执行材料
了解案件情况：
- 确认原债权人是否已有生效的法律文书（如判决书、调解书、仲裁裁决书等）作为执行依据。
- 了解被执行人的财产状况和履行能力，以便后续执行。
准备申请材料：
- 继承人的身份证明（身份证、户口本等）。
- 继承权公证书或法院判决书，证明继承人身份和继承份额。
- 原债权人的死亡证明。
- 生效法律文书原件及复印件，作为申请执行的依据。
- 其他可能需要的材料，如授权委托书（如果委托他人代为申请）。
三、向法院提出申请执行
提交申请：
- 向有管辖权的人民法院提交强制执行申请书及相关材料。
- 申请书中应写明申请执行人与被申请人的基本信息、申请执行的事项、事实理由以及具体的请求内容。
配合法院执行：
- 提供被执行人可供执行的财产线索，如银行账户、房产、车辆等。
- 配合法院的调查和执行工作，如提供必要的协助、签署相关文件等。
四、关注执行进展及后续处理
定期沟通：
- 定期与法院沟通，了解执行进展情况。
- 如发现被执行人有转移、隐匿财产等行为，及时向法院报告。
处理特殊情况：
- 如果被执行人死亡且其继承人放弃继承，债权人可以债务人的遗产价值为限来主张债权。此时，遗产将按照法定程序进行清理、变价，并用于清偿债务。
- 若存在遗产管理人，其有责任在遗产范围内对债权人的债务进行清偿。债权人可以与遗产管理人沟通，要求其履行清偿责任。
争议解决：
- 如果在执行过程中存在任何争议（如对遗产范围的异议、执行程序违法等），债权人可以向人民法院提起诉讼或申请复议，以维护自己的合法权益。
综上所述，当债权人死亡后，其继承人若希望申请执行原债权人的债权，需要首先确认继承人身份及份额，然后准备申请执行材料并向法院提出申请。在执行过程中，应关注执行进展并配合法院工作，同时处理好可能出现的特殊情况。如有争议，应通过法律途径寻求公正解决。