当申请执行人死亡时，其继承人可以按照一定程序和法律规定代替执行。以下是一个清晰、详细且有深度的解答过程：

首先，明确法律基础：

• 根据《最高人民法院关于民事执行中变更、追加当事人若干问题的规定》第二条，当作为申请执行人的自然人死亡或被宣告死亡时，该自然人的遗产管理人、继承人、受遗赠人或其他因该自然人死亡依法承受生效法律文书确定权利的主体，可以申请变更或追加其为申请执行人，人民法院对此应予支持。

接下来，了解继承人如何操作：

1. 确认继承权：继承人需要确认自己具有继承权，这通常基于法定继承或遗嘱继承。若存在多个继承人，则需明确各自的继承份额。

2. 放弃继承声明（如适用）：如果某些继承人不想参与执行程序，他们可以出具放弃继承权的声明书，明确表示放弃对该债权的继承。

3. 向法院提交申请：继承人需要向法院提交变更申请执行人的申请，同时附上相关证明材料，如身份证明、继承权证明（如遗嘱、家族关系证明等）、放弃继承声明（如有）等。

4. 法院审查与裁定：法院会对继承人的申请进行审查，确认其继承权及申请变更的合法性。一旦审查通过，法院会作出裁定，变更继承人为新的申请执行人。

5. 继续执行程序：变更完成后，继承人作为新的申请执行人，可以继续参与执行程序，包括与被执行人协商、申请强制执行措施等。

此外，还需注意以下几点：

• 债权不随死亡消灭：申请执行人的死亡并不导致其债权的消灭，继承人可以依法继承并继续申请执行。
• 多个继承人的处理：若存在多个继承人，且未全部放弃继承权，法院可能需要对每个继承人的份额进行认定和分配。
• 法律程序的遵循：继承人必须按照法律程序进行变更或追加申请执行人的申请，不能直接继续执行。

综上所述，当申请执行人死亡时，其继承人可以依法向法院申请变更为申请执行人，继续参与执行程序。在此过程中，继承人需要遵循相关法律规定和程序要求，以确保自己的权益得到有效保障。