在法院判决后，若债务人死亡，银行作为债权人，其申请执行的过程需依据具体情况和法律规定来推进。以下是对此问题的详细解答：
一、核心原则
债务人死亡并不意味着债务的自动消灭。银行作为债权人，仍有可能根据债务人的遗产状况、继承人情况、是否存在共同债务人或担保人等因素，申请对相关责任主体进行执行，以保障自身合法权益。
二、可执行的范围与条件
遗产执行：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，债务人死亡后，其遗产（如房产、车辆、银行存款、股权等）可用于清偿债务。
- 继承人需在所得遗产实际价值范围内清偿被继承人的债务。若遗产价值不足以清偿全部债务，继承人无义务超出此范围偿还。
- 若继承人放弃继承，银行可向法院申请直接执行债务人的遗产。
共同债务人或担保人：
- 若债务为夫妻共同债务，即使一方去世，另一方仍需承担全部清偿责任。
- 若债务设有担保人，银行可要求担保人承担担保责任，并通过法律途径申请强制执行。
三、申请执行的程序
变更被执行人：
- 在执行过程中，若债务人死亡，银行需向法院提供债务人死亡及遗产情况的证据，申请变更被执行人为其遗产继承人（在继承遗产范围内）或直接执行债务人的遗产。
- 法院将审查相关证据，并作出是否变更被执行人的裁定。
启动执行程序：
- 若银行已取得生效法律文书（如判决书、调解书），可依据变更被执行人的裁定，对遗产或继承人启动执行程序。
- 若尚未取得生效法律文书，银行需先通过诉讼程序将继承人或担保人列为被告，要求其承担还款责任。待取得生效法律文书后，再申请强制执行。
四、特殊情况处理
无遗产或放弃继承：
- 若债务人无遗产或继承人放弃继承，且无其他义务承担人（如共同债务人或担保人），银行可能面临部分或全部债务无法追回的风险。
- 在此情况下，银行需严格审查继承人是否存在恶意放弃继承以逃避债务的情况，并可考虑通过其他法律途径维护自身权益。
财产转移或隐匿：
- 若债务人死亡前存在财产转移或隐匿行为，银行可在一定期限内请求法院撤销相关行为，以保护自身权益。
五、实际操作建议
财产调查：
- 银行在处理此类案件时，应首先查明债务人的财产状况、继承人情况以及是否存在共同债务人或担保人。
- 可通过查询债务人银行账户、房产登记、车辆登记等信息，全面了解其财产状况。
法律咨询：
- 鉴于法律程序的复杂性和专业性，建议银行咨询专业律师以获取针对性的法律建议和指导。
- 律师可协助银行制定合适的策略，确保在法律规定的期限内维护自身合法权益。
及时行动：
- 银行应尽快采取行动，以免因时间拖延导致证据灭失或法律程序受阻。
- 在发现债务人死亡后，应立即与法院沟通并提供相关证据，申请变更被执行人或启动执行程序。
综上所述，债务人死亡后的申请执行问题需结合具体案件情况和法律规定来确定。银行作为债权人，应明确可执行的范围与条件，遵循正确的法律程序，并根据实际情况采取相应措施以维护自身权益。