员工上班期间突发疾病死亡，用人单位（用工单位）和派遣公司的责任划分需根据具体情况来确定，以下分情况说明：

1. 若派遣公司已依法缴纳工伤保险

   • 责任主体：在这种情况下，若员工被认定为工伤死亡，则主要由工伤保险基金承担支付丧葬补助金（一般为6个月的统筹地区上年度职工月平均工资）、一次性工亡补助金（标准为上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍）等工亡待遇。此时，派遣公司作为用人单位，其责任主要体现在已依法履行缴纳工伤保险的义务上，而用工单位若不存在过错，则不直接承担工伤赔偿责任。
   • 法律依据：根据《工伤保险条例》的相关规定，职工因工死亡，其近亲属可从工伤保险基金领取丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金。

2. 若派遣公司未缴纳工伤保险

   • 责任主体：若派遣公司未依法为员工缴纳工伤保险，且员工被认定为工伤死亡，则派遣公司需按照工伤保险待遇项目和标准自行支付相应费用，包括丧葬补助金、一次性工亡补助金等。此时，派遣公司作为用人单位，需承担全部的工伤赔偿责任。
   • 法律后果：派遣公司未依法缴纳工伤保险，不仅需承担工伤赔偿责任，还可能面临劳动保障行政部门的行政处罚，如罚款等。

3. 若员工死亡非因工导致，但用工单位存在过错

   • 责任主体：若员工的死亡并非由于工作原因，而是由于用工单位提供的工作环境存在严重安全隐患等过错导致，则用工单位需承担相应的侵权赔偿责任。这种情况下，派遣公司作为用人单位，若不存在过错，则不直接承担赔偿责任，但可能需根据与用工单位的劳务派遣协议，在内部责任分担上有所约定。
   • 法律适用：此时可能涉及《侵权责任法》（现已被《民法典》侵权责任编替代）的相关规定，用工单位需根据其过错程度承担相应的赔偿责任。

4. 劳务派遣协议中的责任分担约定

   • 内部约定效力：劳务派遣单位和用工单位通常会在劳务派遣协议中对员工工伤、伤亡等情况的责任分担进行约定。这种约定在不违反法律法规强制性规定的情况下，对双方具有约束力。然而，这种约定不能对抗劳动者或其家属的法定权利主张，即劳动者或其家属仍有权向任何一方或双方主张权利。
   • 对外责任承担：即使协议中有关于责任分担的约定，劳务派遣单位在依法承担责任后，仍可依据协议向用工单位进行追偿。这体现了劳务派遣协议在内部责任分担上的作用，但不影响劳动者或其家属对外主张权利。

建议行动：

• 家属在遭遇此类事件时，应首先申请工伤认定，以确定责任主体和赔偿范围。
• 若对责任划分或赔偿事宜存在争议，可直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。

综上所述，员工上班期间突发疾病死亡的责任承担涉及多个方面，包括派遣公司的工伤保险责任、用工单位的过错责任以及双方之间的约定责任。在实际操作中，应综合考虑各种因素，确保责任得到合理划分和承担。