针对您提出的“私企不签劳动合同、无故辞退员工怎么诉求”这一问题，核心结论是：员工可以通过法律途径要求企业支付未签劳动合同的双倍工资差额、违法解除劳动合同的赔偿金，并可以要求补缴社保等。以下是详细分析：
未签劳动合同的双倍工资差额
- 法律依据：根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 诉求方式：员工可以收集能证明劳动关系的证据（如工资条、工作证、考勤记录、同事证言等），向劳动仲裁委员会申请仲裁，要求企业支付未签劳动合同期间的双倍工资差额。
违法解除劳动合同的赔偿金
- 法律依据：根据《劳动合同法》第四十八条和第八十七条，用人单位违法解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿标准按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 诉求方式：员工若被企业无故辞退，且企业无法提供合法解除劳动合同的证据（如员工严重违反公司规章制度、不能胜任工作等），则员工可以申请劳动仲裁，要求企业支付违法解除劳动合同的赔偿金。
补缴社保
- 法律依据：根据《社会保险法》第五十八条，用人单位应当自用工之日起三十日内为其职工向社会保险经办机构申请办理社会保险登记。未办理社会保险登记的，由社会保险经办机构核定其应当缴纳的社会保险费。
- 诉求方式：员工可以要求企业补缴在职期间的社保费用，若企业拒绝，可以向当地社保部门投诉，由社保部门责令企业补缴。
行动建议：
- 收集并保存好能证明劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录等。
- 尝试与企业协商，看是否能达成和解，要求企业支付相应的赔偿和补缴社保。
- 若协商无果，可以向当地劳动仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。
在处理此类纠纷时，建议保持冷静，依法维权。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。