结论：私企在用工不签劳动合同的情况下辞退工人，工人有权获得相应的补偿，主要包括未签订劳动合同的双倍工资差额以及违法解除劳动合同的赔偿金。
详细分析：
未签订劳动合同的双倍工资差额：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 计算方式：假设工人的月工资为W元，且私企未与其签订劳动合同的时间为M个月（M大于1且小于等于11，因为超过一年未签合同则视为已订立无固定期限劳动合同），则工人有权获得的双倍工资差额为W * (M - 1)元（因为第一个月不计算双倍工资）。
- 示例：如果工人的月工资是5000元，且私企未与其签订劳动合同的时间为6个月，则工人有权获得的双倍工资差额为5000 * (6 - 1) = 25000元。
违法解除劳动合同的赔偿金：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条和第八十七条的规定，用人单位违法解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿的标准则根据劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 计算方式：假设工人在私企的工作年限为N年（N为整数或小数，小数部分代表不满一年的月份数，如1.5年代表1年6个月），且工人的月工资为W元，则工人有权获得的赔偿金为2 * N * W元（如果N为小数，如1.5，则按1.5计算）。但需要注意的是，如果私企未与工人签订劳动合同的时间超过一年，则视为已订立无固定期限劳动合同，此时如果私企违法解除劳动合同，赔偿金的计算方式仍然适用。
- 示例：如果工人在私企工作了2年，且月工资是5000元，则工人有权获得的赔偿金为2 * 2 * 5000 = 20000元。如果私企未与工人签订劳动合同的时间超过了1年，但工人实际工作了2年，赔偿金计算方式不变。
综合建议：
- 工人应收集相关证据，如工资条、工作证、考勤记录等，以证明与私企存在劳动关系以及私企未与其签订劳动合同的事实。
- 工人可以先与私企协商，要求支付未签订劳动合同的双倍工资差额以及违法解除劳动合同的赔偿金。
- 如果协商无果，工人可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。
特殊情况说明：
- 如果私企能够证明辞退工人是出于合法原因，如工人严重违反公司规章制度、严重失职等，则私企可能不需要支付赔偿金。但私企仍需支付未签订劳动合同的双倍工资差额（如果适用）。
- 如果工人对仲裁结果不服，还可以向人民法院提起诉讼。
希望以上分析能够帮助你理解私企在用工不签劳动合同的情况下辞退工人应支付的补偿问题。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。