核心前提：女性，53岁，在私人单位工作13年多，单位未为其缴纳社保且未签订劳动合同，今年因年龄大被辞退，询问是否有赔偿。

结论与详细分析：

1. 关于未签订劳动合同的双倍工资问题：

   • 根据《劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。但这一规定有诉讼时效的限制，即从劳动者知道或应当知道其权益被侵害之日起一年内提出。考虑到您已经在该单位工作13年多，这一部分的双倍工资请求可能因超过诉讼时效而难以得到支持。不过，若您能证明在此期间曾向单位主张过签订合同或要求支付双倍工资，可能构成时效中断，从而重新计算诉讼时效。

2. 关于未缴纳社保的补偿问题：

   • 用人单位未依法为劳动者缴纳社会保险费的，劳动者有权要求用人单位补缴。对于您的情况，您可以向当地社保部门投诉，要求单位为您补缴这13年多的社会保险费。如果因单位未缴纳社保导致您无法享受相应的社保待遇（如养老保险、医疗保险等），您还可以要求单位赔偿相应的损失。

3. 关于因年龄大被辞退的赔偿问题：

   • 如果单位是因为您的年龄而辞退您，且没有合法的理由（如您不能胜任工作且经过培训或调岗后仍不能胜任、您严重违反单位规章制度等），那么单位的辞退行为可能构成违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》的规定，用人单位违法解除劳动合同的，应当向劳动者支付赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿金的两倍。经济补偿金的标准则是根据您在单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。因此，您有权要求单位支付违法解除劳动合同的赔偿金。

建议行动：

• 首先，与单位进行协商，尝试通过友好方式解决社保补缴和赔偿问题。
• 如果协商无果，您可以向当地劳动监察部门投诉，要求单位补缴社保并支付可能的赔偿。
• 同时，您也可以考虑通过法律途径（如申请劳动仲裁或提起诉讼）来维护自己的合法权益。

温馨提醒：在处理此类问题时，请务必保留好相关证据（如工作证、工资条、考勤记录等），以便在需要时证明您与单位之间的劳动关系以及您的工作年限等关键信息。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。