针对您被辞退的事业单位编外合同问题，若您认为该辞退决定存在不当或违法之处，并希望申请复核（通常指的是行政复议，因为针对行政机关的决定，复核一般通过行政复议途径进行），以下是一份详细且清晰的申请流程指南：

一、明确申请条件

在申请行政复议前，请确保您满足以下条件：

1. 有明确的申请人和符合规定的被申请人：申请人为您本人，被申请人为作出辞退决定的事业单位或其上级主管部门。
2. 申请人与被申请行政复议的行政行为有利害关系：即您因该辞退决定而受到直接影响。
3. 有具体的行政复议请求和理由：明确您希望复议机关如何处理（如撤销辞退决定、确认辞退违法等），并阐述支持您请求的事实和法律依据。
4. 在法定申请期限内提出：通常自知道或应当知道该行政行为之日起60日内提出，但具体期限可能因地区或具体法规而有所不同，请务必核实当地规定。
5. 属于行政复议范围：即该辞退决定属于行政复议的受理范围。
6. 属于本机关的管辖范围：即向有管辖权的行政复议机关提出申请。
7. 行政复议机关未受理过该申请人就同一行政行为提出的行政复议申请，并且人民法院未受理过该申请人就同一行政行为提起的行政诉讼。

二、准备申请材料

根据《行政复议指南》及相关规定，您需要准备以下材料：

1. 申请人基本情况：包括您的姓名、性别、年龄、工作单位（原事业单位）、住所、身份证号码等。
2. 被申请人的名称：即作出辞退决定的事业单位或其上级主管部门。
3. 行政复议请求、申请行政复议的主要事实和理由：详细阐述您希望复议机关如何处理，并附上支持您请求的事实和法律依据。
4. 证明行政行为存在的证据材料：如辞退通知书、劳动合同、工作记录等，以证明辞退决定的存在及其内容。
5. 其他相关材料：如您认为辞退决定违法的法律依据、相关证人证言等。
6. 申请人签名或者盖章：在申请材料上签名或盖章，以确认材料的真实性和您的申请意愿。
7. 申请行政复议的日期：注明您提交申请的具体日期。

三、选择申请方式

您可以选择以下方式之一提交行政复议申请：

1. 当面递交：前往有管辖权的行政复议机关（如北京市人民政府行政复议接待室）当面递交申请材料。
2. 邮寄：将申请材料邮寄至有管辖权的行政复议机关，并在信封上注明“行政复议申请材料”字样。
3. 网上申请：通过司法部行政复议服务平台等官方网站进行网上申请。

四、关注办理程序和时限

1. 受理审查：行政复议机关收到申请后，将在5个工作日内进行审查。对符合申请条件的，将予以受理。
2. 材料补正：如果申请材料不齐全或表述不清楚，行政复议机关将书面通知您补正。您应在收到补正通知之日起10个工作日内提交补正材料。
3. 被申请人答复：适用普通程序审理的行政复议案件，被申请人应在收到申请书副本之日起10个工作日内提出书面答复，并提交当初作出行政行为的证据、依据和其他有关材料。
4. 作出决定：适用普通程序审理的行政复议案件，行政复议机关应自受理申请之日起60日内作出行政复议决定。情况复杂，不能在规定期限内作出决定的，经批准可以适当延长，但延长期限最多不得超过30日。

五、注意事项

1. 保持沟通：在申请过程中，保持与行政复议机关的沟通，及时了解申请进展和需要补充的材料。
2. 保留证据：妥善保管所有与辞退决定相关的证据材料，以备不时之需。
3. 寻求法律援助：如果您对法律程序不熟悉或需要专业法律意见，可以考虑寻求法律援助或咨询专业律师。

希望以上指南能帮助您顺利申请行政复议并维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时咨询相关法律机构或专业人士。