当您的雇佣合同到期后，公司既未提出续签也未解雇您，而您继续在公司工作，这种情况在法律上有着明确的界定和相应的处理方式。以下是我为您详细梳理的解答：
一、法律层面的认定
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同到期后，如果您仍在原用人单位工作，且原用人单位未表示异议，那么双方之间就形成了事实上的劳动关系。这意味着，即使没有新的书面合同，您与公司之间的劳动关系依然有效，且应继续按照原合同的条款执行。
二、您的权益与风险
双倍工资补偿：
- 自劳动合同期满之日起满一个月的次日至满一年的前一日，如果公司未与您签订新的书面劳动合同，根据《劳动合同法》第八十二条的规定，公司应当向您每月支付两倍的工资作为补偿。
无固定期限劳动合同：
- 如果这种情况持续满一年，那么自满一年的当日，视为您与公司已经订立了无固定期限的劳动合同，公司应当立即与您补订书面劳动合同。
三、具体应对措施
主动沟通：
- 建议您首先选择合适的时间与公司的人力资源部门或上级领导进行沟通，明确表达您希望续签劳动合同的意愿。沟通时，尽量采用书面形式（如邮件、书面申请等），并保留好相关凭证，以便后续可能出现的纠纷时作为证据。
收集证据：
- 在等待公司回复的过程中，务必注意收集能够证明您与公司存在劳动关系的证据。这些证据包括但不限于工资支付记录（银行工资流水）、工作证、考勤记录、工作成果文件以及与同事或客户的业务往来邮件等。
法律途径维权：
- 如果与公司沟通后，公司仍拒绝续签劳动合同或拖延不处理，并且您在合同到期一个月后仍未得到双倍工资补偿，那么您可以考虑向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁前，请确保已准备好充分的证据材料，并撰写好仲裁申请书，明确您的仲裁请求，如要求公司支付双倍工资差额、签订无固定期限劳动合同等。
四、注意事项
- 在整个过程中，保持理性和冷静至关重要。通过合法、合理的方式维护自己的权益，避免采取过激行为或言辞，以免影响您的职业声誉和未来的职业发展。
- 同时，您也有权选择是否继续在该用人单位工作。如果您不想续签，应提前通知用人单位，并按照公司规定办理离职手续。
综上所述，当您的雇佣合同到期后公司既未续签也未解雇您时，您应了解并行使自己的合法权益。通过主动与公司沟通、持续收集证据以及必要时考虑法律途径维权，您可以有效地保护自己的劳动权益不受侵害。