结论前置：雇佣合同到期后没有续签，并不直接等同于雇佣关系的终止，而是可能导致雇佣关系的终止或形成事实劳动关系，具体取决于双方后续的行为和意愿。
详细分析：
雇佣关系终止的情形：
- 双方无续签意愿：如果雇佣合同到期后，双方均没有续签的意愿，且劳动者停止为用人单位提供劳动，用人单位也停止支付劳动报酬，那么雇佣关系即告终止。在此情形下，除非用人单位维持或提高劳动合同约定条件而劳动者不同意续签，否则用人单位通常需要向劳动者支付经济补偿。经济补偿的标准按照劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。
形成事实劳动关系的情形：
- 继续用工未续签：如果雇佣合同到期后，劳动者继续为用人单位提供劳动，且用人单位未表示异议并继续支付劳动报酬，那么双方之间就形成了事实上的劳动关系。此时，尽管没有新的书面合同，但雇佣关系依然有效，且应继续按照原合同的条款执行。根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，自雇佣合同期满之日起满一个月的次日至满一年的前一日，如果用人单位未与劳动者签订新的书面合同，用人单位应当向劳动者每月支付两倍的工资作为补偿。若这种情况持续满一年，则自满一年的当日，视为你与公司已经订立了无固定期限的劳动合同，公司应当立即与你补订书面劳动合同。
特殊情形的处理：
- 法定顺延情形：在某些特殊情况下，如劳动者从事接触职业病危害作业未进行离岗前职业健康检查，或疑似职业病病人在诊断、医学观察期间；在本单位患职业病或因工负伤并被确认丧失或部分丧失劳动能力；女职工在孕期、产期、哺乳期等，雇佣合同应续延至相应情形消失时终止。在这些情形下，即使雇佣合同到期，也不能直接视为雇佣关系的终止。
具体应对措施与建议：
主动沟通：
- 如果你希望继续留在原单位工作，建议你在合同到期前或到期后尽快与用人单位的人力资源部门或上级领导进行沟通，明确表达你希望续签雇佣合同的意愿。沟通时，尽量采用书面形式（如邮件、书面申请等），并保留好相关凭证。
收集证据：
- 在等待用人单位回复的过程中，务必注意收集能够证明你与用人单位存在劳动关系的证据。这些证据对于后续可能发生的劳动纠纷至关重要。证据包括但不限于工资支付记录（银行工资流水）、工作证、考勤记录、工作成果文件以及与同事或客户的业务往来邮件等。
考虑法律途径：
- 如果与用人单位沟通后，用人单位仍拒绝续签雇佣合同或拖延不处理，并且你在合同到期一个月后仍未得到双倍工资补偿（如果适用的话），那么你可以考虑向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁前，请确保已准备好充分的证据材料，并撰写好仲裁申请书，明确你的仲裁请求，如要求用人单位支付双倍工资差额、签订无固定期限劳动合同等。
保持理性与冷静：
- 在整个过程中，保持理性和冷静至关重要。通过合法、合理的方式维护自己的权益，避免采取过激行为或言辞，以免影响你的职业声誉和未来的职业发展。
总结：雇佣合同到期后没有续签，并不直接等同于雇佣关系的终止。具体法律后果需根据双方后续的行为和意愿来判断。可能涉及雇佣关系的自然终止、经济补偿的支付、事实劳动关系的认定以及法定顺延情形的处理。因此，在处理此类问题时，建议你仔细审查具体情况并依据相关法律法规作出准确判断。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。