结论：签完协商离职协议后，在最后工作日前生病，能否延后最后工作日，需根据具体情况来判断，主要包括协商离职协议的具体条款、双方协商情况以及是否符合法定情形等。以下从不同角度进行分析：

一、协商离职协议的具体条款

1. 协议中有明确约定：

   • 如果协商离职协议中已经明确规定了离职日期，并且没有提及因生病等特殊情况可以延后的条款，那么一般情况下，员工需要按照协议约定的日期离职。
   • 例外情况：如果协议中有“如遇特殊情况，双方可协商调整离职日期”等类似条款，那么员工在生病等特殊情况下，可以与用人单位协商延后离职日期。

2. 协议中无明确约定：

   • 如果协商离职协议中没有明确规定离职日期，或者虽然规定了日期但未提及特殊情况的处理方式，那么员工在生病等特殊情况下，可以与用人单位进行协商，看是否能够延后离职日期。

二、双方协商情况

• 双方达成一致：无论协议中是否有明确约定，如果员工与用人单位能够就延后离职日期达成一致意见，那么员工可以延后离职。
• 双方未达成一致：如果双方无法就延后离职日期达成一致意见，那么员工需要按照协议约定的日期离职，或者根据法律规定来处理。

三、是否符合法定情形

• 医疗期规定：根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，企业职工因患病或非因工负伤，需要停止工作医疗时，根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期。如果员工在协商离职协议约定的离职日期前生病，且符合医疗期的规定，那么员工可以依法享受医疗期，医疗期内的离职日期应当相应延后。
• 其他法定情形：除了医疗期外，如果员工因生病等特殊情况符合其他法定情形的（如工伤等），也可能导致离职日期的延后。但这种情况需要具体分析，并且需要员工提供相应的证明材料。

四、建议与注意事项

1. 及时沟通：员工在生病后，应及时与用人单位沟通，说明情况，并提出延后离职日期的请求。
2. 保留证据：员工应保留好生病的相关证明材料（如医院诊断证明、病历等），以便在需要时提供证明。
3. 协商解决：尽量与用人单位协商解决，避免产生不必要的纠纷。如果协商不成，员工可以考虑通过法律途径来维护自己的合法权益。

总结：签完协商离职协议后，在最后工作日前生病能否延后最后工作日，并没有一个固定的答案。它取决于协商离职协议的具体条款、双方协商情况以及是否符合法定情形等多种因素。因此，建议员工在遇到这种情况时，及时与用人单位沟通，并咨询专业律师的意见，以便更好地维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。