结论先行：孩子有权辞职，老板不允许辞职并要求赔付4万元的做法是不合法的，孩子因此抑郁的情况值得重视，建议通过合法途径维护自身权益。
详细分析如下：
一、关于辞职的权利
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者享有辞职的权利。具体来说：
试用期辞职：如果孩子还在试用期内，根据《劳动合同法》第三十七条，劳动者在试用期内提前三日通知用人单位，可以解除劳动合同。这意味着，孩子只需提前三天告知老板，即可合法辞职，无需老板同意，也无需支付任何赔偿。
正式员工辞职：如果孩子已经过了试用期，成为正式员工，同样根据《劳动合同法》第三十七条，劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。孩子只需提前三十天提交书面辞职申请，到期后即可离职，同样无需老板同意或支付赔偿。
二、关于老板要求赔付4万元的问题
老板要求孩子赔付4万元的做法，很可能缺乏法律依据。在劳动法律关系中，劳动者通常只在以下几种情况下需要承担赔偿责任：
违反服务期约定：如果孩子与老板签订了服务期协议，并约定了服务期及违约金，但孩子未履行完服务期就辞职，那么可能需要按照协议支付违约金。但违约金的数额通常有限制，且需合理。
违反竞业限制约定：如果孩子与老板签订了竞业限制协议，并在离职后违反了该协议，那么可能需要支付违约金。但同样，违约金的数额也需合理，且竞业限制的范围和期限需符合法律规定。
给用人单位造成损失：如果孩子因故意或重大过失给老板造成了经济损失，那么可能需要承担赔偿责任。但这种情况需要老板提供充分的证据证明损失的存在及与孩子的行为之间的因果关系。
在孩子的情况中，老板不允许辞职并要求赔付4万元，很可能没有合法的依据。除非孩子确实存在上述某种违约或过错行为，且老板能够提供充分的证据证明，否则孩子无需支付任何赔偿。
三、关于孩子抑郁的情况
孩子因老板的不合理要求而抑郁，这是一个非常严重的问题。作为家长，您应该：
关注孩子的心理健康：及时与孩子沟通，了解其内心的想法和感受，给予必要的支持和鼓励。
寻求专业帮助：如果孩子抑郁情况严重，建议寻求心理咨询师或心理医生的帮助，以便及时进行心理疏导和治疗。
维护合法权益：在关注孩子心理健康的同时，也要积极维护孩子的合法权益。如果老板的行为确实违法，可以通过法律途径进行维权，如向劳动监察部门投诉、申请劳动仲裁或提起诉讼等。
四、建议行动步骤
与老板沟通：首先尝试与老板进行友好沟通，明确表达辞职的意愿和理由，并要求老板按照法律规定办理离职手续。
收集证据：如果老板拒绝沟通或坚持要求赔付，建议收集相关证据，如劳动合同、辞职申请、沟通记录等，以备后续维权之需。
寻求法律援助：如果情况复杂或无法自行解决，建议咨询专业律师（即我，李加文律师，专注于劳动纠纷领域），获取更具体的法律建议和帮助。
总之，孩子有权辞职，老板不允许辞职并要求赔付4万元的做法是不合法的。作为家长，您应该关注孩子的心理健康，并积极维护其合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。