结论前置：用人单位自行支付了赔偿金后，是否能要求继续履行劳动争议（即继续履行劳动合同），主要取决于劳动者的选择及劳动合同是否具备继续履行的条件。若劳动者要求且合同能够继续履行，则用人单位应继续履行；若劳动者不要求或合同无法继续履行，则用人单位已支付的赔偿金即作为对劳动者的补偿。
法律背景与原则：
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条的规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。这一条款明确了在用人单位违法解除或终止劳动合同的情况下，劳动者有权选择继续履行劳动合同或接受赔偿金。
具体情况分析：
劳动者要求继续履行且具备继续履行条件：
- 条件说明：劳动合同在法律和实际操作层面均可继续履行，如岗位依然存在、用人单位有能力安排劳动者回岗工作等。
- 法律后果：用人单位应继续履行劳动合同，并承担因违法解除劳动合同给劳动者造成的工资损失等法律责任。即便用人单位已支付赔偿金，只要劳动者坚持要求继续履行，用人单位仍需履行。
- 案例分析：例如，员工小李与公司签订了为期5年的劳动合同，合同履行2年后被公司无正当理由辞退。经仲裁机构审查，小李的岗位未撤销，公司有能力安排其回岗工作。此时，即便公司已支付赔偿金，只要小李坚持，仍需继续履行与小李的劳动合同。
不具备继续履行条件或劳动者不要求继续履行：
- 客观情况导致无法履行：如用人单位因经营困难进行大规模业务调整，劳动者原工作岗位已不复存在，或用人单位破产、关闭、注销等。
- 劳动者自身原因：如劳动者严重违反用人单位规章制度，达到可以解除劳动合同的程度，或劳动者在被违法辞退后因故意泄露公司商业机密给公司造成重大损失等。
- 法律后果：在这些情况下，即使劳动者曾要求继续履行劳动合同，用人单位也无需继续履行，而应支付经济赔偿金作为替代方案。
支付赔偿金与继续履行劳动合同的关系：
- 非并列关系：支付赔偿金和继续履行劳动合同是两种互斥的法律后果，具体适用哪种取决于劳动者的选择和劳动合同的实际履行情况。
- 实际操作：在劳动者要求继续履行且合同能够继续履行的情况下，用人单位不得仅以已支付赔偿金为由拒绝继续履行；反之，在合同无法继续履行或劳动者不要求继续履行的情况下，用人单位应依法支付赔偿金。
建议与后果：
- 对于劳动者而言，如果希望继续履行劳动合同，应在被违法解除或终止后及时提出要求，并保留好相关证据，以便在仲裁或诉讼中证明自己的主张。
- 对于用人单位而言，应严格遵守劳动合同法的规定，避免违法解除或终止劳动合同。如果确实需要解除或终止劳动合同，应依法支付经济补偿金或赔偿金，并尊重劳动者的选择权。
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