劳动合同到期，公司未支付赔偿金，劳动者是否可以继续履行劳动合同，需分情况讨论：
若劳动合同到期后，公司明确表示不再续签，且未支付经济补偿：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。若公司未支付且明确不续签，则劳动合同自然终止，劳动者无法单方面要求继续履行。但劳动者有权要求公司支付相应的经济补偿，标准通常为每工作满一年支付一个月工资。
- 建议：劳动者应与公司沟通，要求支付经济补偿。若公司拒绝，劳动者可向劳动仲裁机构申请仲裁，维护自身权益。
若劳动合同到期后，公司未明确表示是否续签，且未支付经济补偿，但劳动者希望继续履行：
- 在此情况下，劳动合同并未立即终止，因为公司未明确表示不续签。劳动者有权要求公司明确是否续签劳动合同，并同时要求支付可能的经济补偿（如果最终决定不续签）。若劳动者希望继续履行劳动合同，且公司未明确拒绝，双方可协商续签事宜。
- 建议：劳动者应主动与公司沟通，表达继续履行的意愿，并询问公司的态度。若公司同意续签，则双方应签订新的劳动合同；若公司不同意，则劳动者可要求支付经济补偿并考虑其他维权途径。
若劳动合同到期后，公司既未支付经济补偿，也未明确表示是否续签，且采取消极态度：
- 在这种情况下，劳动者可能面临劳动合同自然终止但无法获得经济补偿的风险。为了保护自身权益，劳动者应主动采取行动，要求公司明确态度并支付可能的经济补偿。
- 建议：劳动者可向公司发出书面通知，要求公司在一定期限内明确是否续签劳动合同，并支付经济补偿（如果决定不续签）。若公司未在规定期限内回应，劳动者可考虑向劳动仲裁机构申请仲裁，要求公司支付经济补偿并确认劳动合同的终止状态。
额外提醒：
- 在处理此类纠纷时，劳动者应保留好与劳动合同相关的所有证据，如劳动合同文本、工资单、工作证等，以便在需要时提供证明。
- 劳动者在维权过程中应遵守法律程序，不得采取过激行为。如有需要，可寻求专业律师的帮助，以确保自身权益得到最大程度的保护。
总结：劳动合同到期后，公司未支付赔偿金时，劳动者是否可以继续履行劳动合同取决于公司的态度和双方的协商结果。劳动者应主动与公司沟通，明确自身权益，并在必要时采取法律手段维护自身利益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。