结论前置：别人把您家的鸡毒死了，您完全有权报警，并可根据法律规定追究投毒者的法律责任。
一、报警的合理性及法律依据
在我国，鸡作为您的合法财产，受到法律的保护。当有人故意向您家的鸡投毒导致其死亡时，这构成了对您财产的侵犯。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十九条，故意损毁公私财物的行为是违法的，可处以拘留和罚款。因此，您有权报警，寻求法律的保护和救济。
二、可能涉及的法律责任
故意毁坏财物罪：
- 如果投毒行为导致鸡死亡，且投毒者明知自己的行为会造成这一结果，那么投毒者可能构成故意毁坏财物罪。
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百七十五条，故意毁坏公私财物，数额较大或者有其他严重情节的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金。具体数额标准可能因地区而异，但一般来说，造成的财物损失达到一定金额（如五千元以上，具体标准需参考当地规定），就可能构成此罪。
投放毒害性物质危害公共安全罪（若情节严重）：
- 如果投毒行为不仅毒死了鸡，还对公共安全造成了威胁，例如毒药可能污染水源或食物链，影响其他生物或人类健康，那么投毒者可能同时构成投放毒害性物质危害公共安全罪。
- 根据《中华人民共和国刑法》第一百一十四条，投放毒害性物质危害公共安全，尚未造成严重后果的，处三年以上十年以下有期徒刑。
三、报警后的处理流程
警方调查：
- 您在报警后，警方会展开调查，通过现场勘查、走访等方式查找投毒人，确定案件性质和责任归属。
- 您应积极配合警方进行调查，提供相关证据和信息，如鸡死亡的照片、投毒现场的痕迹、可能的目击者信息等，以便警方能够尽快查明事实真相。
法律追责：
- 根据调查结果，如果投毒者构成犯罪，将依法追究其刑事责任。
- 同时，您也可以考虑寻求民事赔偿，要求投毒者赔偿因鸡死亡而造成的经济损失，包括购买鸡的成本、养殖投入、预期收益等。
四、维护权益的其他方式
协商赔偿：
- 在警方介入后，您可以再次尝试与投毒者协商赔偿事宜，明确提出您的损失范围和要求。
调解解决：
- 警方调解：警方可能会根据实际情况组织双方进行调解，引导双方就赔偿问题达成一致。
- 人民调解委员会调解：您也可以向当地的人民调解委员会申请调解，该机构具有中立性和专业性，有助于促成和解。
向法院提起民事诉讼：
- 若协商和调解均无果，您可以向法院提起民事诉讼，要求投毒者赔偿损失。在诉讼中，您需要准备充分证据，如购买凭证、养殖成本记录、死亡照片、警方调查笔录等，以支持您的诉讼请求。
五、加强安全防范
为防止类似事件再次发生，建议您加强养殖场的安全防范措施，如安装监控摄像头、加固围栏、定期巡查等，确保家禽的安全。
综上所述，别人把您家的鸡毒死了，您完全有权报警，并根据法律规定追究投毒者的法律责任。无论是从保护个人财产的角度，还是从维护公共安全的角度，法律都提供了相应的救济途径。如果您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。