当您发现家里的鸡被别人打死（或投毒致死）时，您完全有权利报警，并且报警是维护您自身权益的一个有效且合理的途径。以下是对此问题的详细分析和建议：
报警的作用与合理性
查明事实与追究责任：
- 警方拥有专业的调查能力和资源，他们能够迅速介入，通过现场勘查、询问相关证人、调取周边监控等手段，尽力找出打死您家鸡的责任人。
- 一旦确定了责任人的身份，根据其行为的具体性质和造成的后果，该责任人可能会面临治安处罚，甚至可能构成刑事犯罪，如故意毁坏财物罪等。
固定证据：
- 警方在调查过程中会详细记录现场情况，制作笔录，拍照取证，并可能收集相关物证。这些证据对于您后续要求赔偿至关重要。
- 您应积极配合警方的调查工作，提供您所掌握的任何线索和证据，如鸡死亡的照片、可能的毒药来源、投放痕迹等。
法律依据：
- 在我国法律体系中，故意毁坏公私财物是明确禁止的违法行为。您家的鸡作为您的合法财产，受到法律的保护。
- 报警是您依法寻求保护和救济的正当途径，也是维护自身权益的重要手段。
维护权益的方式
尝试协商赔偿：
- 在警方介入后，您可以尝试与打死您家鸡的责任人进行协商，明确提出您的损失范围和赔偿要求。
调解解决：
- 警方调解：警方可能会根据实际情况，组织双方进行调解，以促成双方就赔偿问题达成一致。
- 人民调解委员会调解：如果您认为警方调解无法满足您的需求，您还可以向当地的人民调解委员会申请调解。该机构具有中立性和专业性，有助于双方达成和解。
向法院提起民事诉讼：
- 如果协商和调解均无法解决问题，您可以考虑向法院提起民事诉讼，要求打死您家鸡的责任人赔偿您的损失。
- 在提起诉讼前，您需要准备充分的证据材料，如购买鸡的凭证、养殖成本记录、鸡死亡的照片、警方的调查笔录等。
- 在诉讼中，您应明确提出您的诉讼请求，包括要求赔偿的直接损失（如购买成本、养殖投入）和间接损失（如预期收益），并要求对方承担诉讼费用。
- 法院将依法审理并作出判决。如果判决支持您的诉讼请求而被告拒不履行，您可以向法院申请强制执行。
加强安全防范：
- 为了防止类似事件再次发生，您应加强养殖场的安全防范措施，如安装监控摄像头、加固围栏等。
总结与建议
面对家里鸡被别人打死的情况，报警是维护您自身权益的首要步骤。通过报警并配合警方的调查工作，您可以查明事实、固定证据，并为后续的索赔奠定坚实基础。同时，根据具体情况采取协商、调解或诉讼等法律手段，以有效维护您的合法权益。在整个过程中，保持冷静、积极收集证据并寻求专业法律援助是至关重要的。希望这些建议能对您有所帮助。