结论：针对您家狗追乡下的鸡被人打死的情况，您可以考虑报警，但具体是否报警还需根据实际情况和您的需求来决定。以下是从不同角度为您进行的分析：
一、法律角度
动物保护与侵权责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，动物饲养人或管理人应当对其饲养的动物造成的损害承担侵权责任。但在此案例中，是您的狗追鸡导致了后续事件，而狗本身被打死，这涉及到两个层面的法律关系：一是您的狗对鸡可能构成的侵权（如果确实造成了鸡的损害），二是打死您狗的人可能构成的侵权（如果打死狗的行为没有合法依据）。
- 如果打死狗的行为没有合法依据，比如并非出于必要的防卫或紧急避险，那么打死狗的人可能构成对您的财产权的侵害，您有权要求其承担相应的民事赔偿责任。
报警的法律依据：
- 报警是公民在遭受不法侵害或发现违法犯罪行为时，向公安机关寻求帮助和保护的一种合法途径。在此案例中，如果您认为打死狗的行为没有合法依据，且您希望追究相关人员的法律责任，那么报警是一个合理的选择。
二、实际角度
损失评估：
- 在决定是否报警前，您可以先评估一下自己的损失。如果狗的价值不高，或者您认为通过其他方式（如协商）能够解决纠纷，那么可能不需要报警。
- 但如果狗对您有特殊意义，或者您认为打死狗的行为性质恶劣，那么报警可能是一个更合适的选择。
证据收集：
- 在报警前，您可以尽量收集一些证据，比如现场照片、视频、目击者证言等，以便在报警时向公安机关提供。这些证据有助于公安机关了解事情经过，并作出相应的处理。
协商解决：
- 在报警前，您也可以尝试与打死狗的人进行协商，看是否能够达成和解。如果双方能够就赔偿等问题达成一致，那么可能就不需要报警了。
三、建议与注意事项
保持冷静与理性：
- 在处理此类纠纷时，保持冷静与理性是非常重要的。避免与对方发生冲突或争执，以免事态进一步恶化。
了解当地习俗与规定：
- 在乡下地区，可能存在一些特定的习俗或规定。在处理纠纷时，您可以了解一下当地的情况，以便更好地与对方进行沟通。
寻求法律帮助：
- 如果您在处理纠纷过程中遇到困难或疑问，可以随时向我咨询。作为专业律师，我将根据您的具体情况提供有针对性的法律建议。
最后，是否报警取决于您对损失的评估、对证据的收集情况以及对协商解决的期望。如果您认为有必要报警以维护自己的合法权益，那么请勇敢地站出来。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。