结论前置：劳动合同解除当天是否还存在劳动关系，需根据劳动合同解除的具体情形来判断。一般来说，若劳动合同解除已生效，则当天劳动关系即行终止；但若存在特殊约定或争议，则可能有所不同。以下从不同角度进行详细分析：
协商一致解除且明确约定了最后工作日
- 在双方协商一致解除劳动合同，并明确约定了员工的最后工作日的情况下，若该日即为解除劳动合同生效日，则员工当天无需上班，劳动关系也于当天终止。这是基于双方的明确约定，体现了劳动者权利义务的终止。
用人单位单方面解除且生效日为解除日
- 当用人单位因合法事由单方面解除劳动合同，并规定解除劳动合同自通知送达员工之日起生效时，劳动者在解除劳动合同生效当天没有必须上班的义务，劳动关系也于当天终止。但为了避免纠纷和完成必要的工作过渡，劳动者可能仍需配合用人单位办理一些交接手续，如交接工作资料、归还公司财物等，但这并不等同于正常履行工作职责。
解除劳动合同存在争议
- 若劳动者对解除劳动合同的合法性存在争议，且未通过法律途径确认解除行为的无效性，但选择继续上班以维护自己的权益，这是合理的。在这种情况下，劳动者有权通过上班行为向用人单位表明其不同意解除的态度，并在劳动争议案件中提供相应证据，以影响劳动合同实际解除时间的认定。此时，劳动关系可能并未在解除通知送达当天终止，而是延续至争议解决之时。
法律背景与建议：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条的规定，用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。劳动者应当按照双方约定，办理工作交接。这进一步明确了劳动合同解除后双方的权利义务关系。
- 对于劳动者而言，在劳动合同解除当天，应了解自己的权利义务，根据具体情况决定是否上班。若对解除劳动合同的合法性存在争议，应及时咨询专业律师，通过法律途径维护自己的权益。
- 对于用人单位而言，在解除劳动合同时，应确保解除行为的合法性，并依法出具解除证明、办理档案和社会保险关系转移手续。同时，应与劳动者妥善办理工作交接，确保业务的连续性和稳定性。
可能的法律后果：
- 若用人单位违法解除劳动合同，劳动者有权要求用人单位继续履行劳动合同或支付赔偿金。
- 若劳动者在劳动合同解除后未按照约定办理工作交接，给用人单位造成损失的，应承担赔偿责任。
综上所述，劳动合同解除当天是否还存在劳动关系，需根据具体情况来判断。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。