结论前置：解除劳动合同当日是否还存在劳动关系，需根据具体的解除情形、时间节点以及劳动合同的具体约定来判断。关键在于劳动关系是否在当日的某个时间点已经合法有效地解除。
详细分析：
劳动合同约定的解除时间：
- 如果劳动合同中明确约定了解除日期及具体时间节点（例如，某月某日下班时解除），那么在该日工作时间内，劳动者仍应视为在职员工，需按公司规章制度正常履行工作职责。只有当约定的解除时间点到达，且双方完成了必要的离职手续后，劳动关系才正式终止。
提前通知解除与离职手续办理：
- 当用人单位或劳动者依据《劳动合同法》的相关规定提前通知对方解除劳动合同，并在解除当日办理完毕所有离职手续（如工作交接、薪资结算等）时，从手续完成那一刻起，双方的劳动关系即行终止。此后，劳动者不再处于在职状态，用人单位也无需再支付劳动报酬或提供劳动条件。
即时解除情形：
- 在符合《劳动合同法》规定的即时解除情形下（如用人单位以暴力、威胁或非法限制人身自由等手段强迫劳动者劳动，或违章指挥、强令冒险作业危及劳动者人身安全），劳动者有权立即解除劳动合同，且不需事先告知用人单位。在此情况下，劳动者作出解除意思表示的瞬间，劳动关系即告解除，劳动者随即不再是在职状态。
违法解除劳动合同的特殊情况：
- 如果用人单位违法解除劳动合同（如无正当理由辞退怀孕女职工），劳动者有权通过法律途径要求恢复劳动关系。若最终判定恢复劳动关系，那么双方的劳动合同关系将继续存在，如同劳动合同未曾解除一样。在此情况下，劳动者应获得的工资、福利等权益也应得到相应补发。
法律建议：
- 对于劳动者而言，在解除劳动合同当日，应仔细了解劳动合同中的相关约定，以及用人单位的规章制度，确保自己的权益不受侵害。如果用人单位在解除当日未按照约定或规定办理离职手续，劳动者有权要求用人单位继续履行义务或承担相应的法律责任。
- 对于用人单位而言，在解除劳动合同时，应严格遵守法律法规和劳动合同的约定，确保解除程序的合法性和有效性。同时，应及时与劳动者办理离职手续，避免因手续不全或程序不当而引发劳动争议。
可能后果：
- 如果双方在解除劳动合同当日因劳动关系是否存续产生争议，且无法通过协商解决，那么任何一方都有权向劳动仲裁机构申请仲裁或向人民法院提起诉讼。在仲裁或诉讼过程中，双方需提供充分的证据来支持自己的主张，以维护自己的合法权益。
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