结论：根据您描述的情况，公司与您签订了6份合同但未签订无固定期限劳动合同，这可能涉及违反《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。接下来，我将从法律背景、法律建议和可能的法律后果三个角度为您详细分析。
法律背景
无固定期限劳动合同的签订条件：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，用人单位与劳动者协商一致，可以订立无固定期限劳动合同。有下列情形之一，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：
- 劳动者在该用人单位连续工作满十年的；
- 用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的；
- 连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。
公司未签订无固定期限劳动合同的法律责任：
- 如果公司违反上述规定，未与劳动者签订无固定期限劳动合同，劳动者有权要求公司签订。若公司拒绝，劳动者可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司承担相应的法律责任。
法律建议
与公司协商：
- 首先，您可以尝试与公司进行协商，明确表达您希望签订无固定期限劳动合同的意愿，并了解公司未签订的原因。通过友好沟通，可能能够达成双方都能接受的解决方案。
收集证据：
- 如果协商无果，您需要开始收集相关证据，包括您与公司签订的劳动合同、工作证明、工资单等，以证明您在公司的工作年限和符合签订无固定期限劳动合同的条件。
申请劳动仲裁：
- 准备好证据后，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司签订无固定期限劳动合同或支付相应的赔偿。在仲裁过程中，您需要详细陈述事实、提供证据，并依据相关法律法规进行辩论。
可能的法律后果
公司被要求签订无固定期限劳动合同：
- 如果仲裁委员会认定公司确实违反了相关法律法规，可能会裁决公司与您签订无固定期限劳动合同。
公司支付赔偿：
- 如果由于公司的原因导致无法签订无固定期限劳动合同，且给您造成了损失，仲裁委员会可能会裁决公司向您支付相应的赔偿。赔偿的具体数额将根据您的实际损失和公司的过错程度等因素进行确定。
最后，我建议您在处理此类问题时保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。如果您在处理过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。