结论前置：公司是否可以开除未办理离职手续的员工，需根据具体情况判断。若员工无正当理由未办理离职手续且经催告后仍不办理，公司可依据规章制度或劳动合同约定解除劳动合同；若员工因公司违法行为而未办理离职手续，则公司无权开除，且可能面临法律责任。
一、员工未办理离职手续的一般情况
离职程序要求：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十六条和第三十七条，员工离职需提前通知公司，并协商一致或按照法定程序办理。员工未办理离职手续，可能违反了与公司的约定或法定程序。
公司解除劳动合同的合法性：
- 若员工无正当理由未办理离职手续，且经公司催告后仍不办理，公司可以依据内部规章制度或劳动合同中的相关条款，解除与该员工的劳动合同。但前提是，这些规章制度或劳动合同条款必须合法有效，且公司已履行了催告义务。
员工可能承担的责任：
- 员工未办理离职手续，可能给公司造成损失，如工作交接不畅导致的业务延误、客户流失等。根据《中华人民共和国劳动合同法》第九十条，员工可能需承担因此给公司造成损失的赔偿责任。
二、员工因公司违法行为未办理离职手续的特殊情况
公司违法行为的情形：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十八条，若公司存在未提供约定的劳动保护或条件、未及时足额支付劳动报酬、未依法缴纳社会保险费等违法行为，员工有权解除劳动合同。
员工立即离职的权利：
- 在公司存在上述违法行为的情况下，员工无需事先告知公司即可立即离职，且无需办理离职手续（但为保障自身权益，建议员工仍应尽可能与公司进行工作交接，并保留相关证据）。此时，公司无权开除员工，且可能因违法行为而面临法律责任。
公司开除员工的非法性：
- 若公司在员工因公司违法行为而未办理离职手续的情况下，擅自开除员工，则公司的行为构成违法解除劳动合同。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司需向员工支付赔偿金，并可能面临劳动行政部门的处罚。
三、建议与总结
对员工的建议：
- 员工在离职时，应尽可能按照法定程序和公司规定办理离职手续，以避免不必要的纠纷和法律责任。若因公司违法行为而未办理离职手续，员工应保留相关证据，以维护自身权益。
对公司的建议：
- 公司应严格遵守劳动法律法规，提供必要的劳动保护和条件，按时支付薪酬，以避免员工因合法权益受损而选择即时离职。在员工未办理离职手续的情况下，公司应先进行催告，并了解员工未办理的原因，再根据情况作出合理处理。
总结：
- 员工未办理离职手续，公司是否可以开除员工，需根据具体情况判断。在一般情况下，若员工无正当理由未办理离职手续且经催告后仍不办理，公司可依据规章制度或劳动合同约定解除劳动合同；但在特殊情况下，如公司存在违法行为导致员工未办理离职手续，则公司无权开除员工，且可能面临法律责任。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。