结论前置：公司可以开除签订无固定期限劳动合同的员工，但必须基于法定情形，并遵循相应的程序，否则可能构成违法解除，需承担法律责任。
一、法定解除情形
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司在以下情形下可以解除与签订无固定期限劳动合同员工的劳动关系：
员工有过错：
- 试用期不符合录用条件：如员工在试用期内未达到公司明确规定的业绩标准或能力要求。
- 严重违反规章制度：例如，员工在工作场所打架斗殴、严重违反公司保密规定或从事损害公司利益的行为。
- 严重失职或营私舞弊：如财务人员因疏忽导致公司重大经济损失，或员工利用职务之便谋取私利。
- 与其他单位建立劳动关系影响本职工作：员工在外兼职，严重影响本单位工作进度和质量，经公司提醒拒不改正。
- 劳动合同无效：员工以欺诈手段订立劳动合同，如提供虚假学历证书或工作经历。
- 被依法追究刑事责任：员工因犯罪被判处有期徒刑或更重的刑罚。
经济性裁员：
- 公司因重整、生产经营困难、转产、重大技术革新或经营方式调整等原因，需要裁减人员时，可以裁减签订无固定期限劳动合同的员工。但需提前三十日向工会或全体职工说明情况，听取意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告，方可实施。
无过失性辞退：
- 医疗期满不能从事原工作：员工患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或另行安排的工作。
- 不能胜任工作：员工经过培训或调整岗位后仍不能胜任工作。
- 客观情况变化：劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，无法履行，且协商未能达成协议。
二、解除程序与补偿
提前通知或额外支付工资：
- 公司在因法定原因辞退员工时，应提前三十日以书面形式通知员工本人，或者额外支付员工一个月工资。
支付经济补偿金：
- 若公司提出解除无固定期限劳动合同且符合法定情形，通常需要向员工支付经济补偿金。经济补偿按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
- 计算公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（工作年限满年按整年计算，不满半年按半个月工资计算，满半年不满一年按一个月工资计算）
违法辞退的赔偿：
- 若公司违法辞退员工，即不存在法定辞退理由而单方面解除劳动合同，公司应按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。
- 计算公式：赔偿金 = 2 × 经济补偿金
三、实际操作建议
严格遵守法定程序：公司在解除无固定期限劳动合同时，必须确保遵循所有法定步骤和程序，包括但不限于提前通知、听取工会意见、向劳动行政部门报告等。
准备充分证据：在解除合同时，公司应准备好充分的证据来证明员工的过错或裁员的经济必要性，如员工违纪记录、工作表现评估、公司财务状况证明等。
支付经济补偿金：在需要支付经济补偿金的情况下，公司应按时足额支付，避免法律风险。
四、员工权益保护
员工若认为公司的解除行为违法，可通过劳动仲裁、诉讼等途径来维护自己的合法权益。在劳动仲裁或诉讼过程中，员工应提供充分的证据来证明公司的解除行为违法，如劳动合同、工资单、违纪记录、解除劳动合同通知书等。
综上所述，公司可以开除签订无固定期限劳动合同的员工，但必须严格遵守相关法律法规，确保每一步行动都符合法定要求。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。