结论：调解书未约定逾期付款利息的，在执行时能否申请，需分情况讨论。一般情况下，若调解书未明确约定逾期付款利息，执行时通常不能直接申请逾期利息；但存在例外情形，如调解书存在瑕疵或符合特定法律规定的，可能支持逾期利息的申请。
分析说明：
调解书未约定逾期付款利息的一般情形：
- 法律原则：根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释，调解书是当事人自愿达成的协议，具有法律约束力。若调解书中未明确约定逾期付款的利息，则执行时通常应按照调解书的内容执行，即不包含逾期利息。
- 实践操作：在司法实践中，如果调解书没有明确约定逾期付款的利息，执行法院一般不会主动添加或计算逾期利息。这是因为调解书是双方当事人意思自治的体现，法院应尊重当事人的约定。
调解书未约定逾期付款利息的例外情形：
- 调解书存在瑕疵：如果调解书在制作过程中存在瑕疵，如遗漏了逾期付款利息的约定，且该瑕疵并非当事人故意为之，那么在执行时，当事人可能可以依据相关法律规定，向法院申请对调解书进行补正或解释，从而可能获得逾期利息的支持。但这种情况较为特殊，需要具体证据支持。
- 符合特定法律规定：在某些特定情况下，即使调解书未约定逾期付款利息，法律也可能规定应支付逾期利息。例如，如果调解书涉及的债权属于金钱给付义务，且债务人逾期未履行，根据《中华人民共和国民法典》中关于逾期付款违约金或利息的相关规定，债权人可能有权要求债务人支付逾期利息。但这种情况需要具体分析法律条文和案件事实。
法律建议：
- 审查调解书内容：在签订调解书前，当事人应仔细审查调解书的内容，确保所有条款都明确无误，特别是关于逾期付款利息的约定。
- 咨询专业律师：如果调解书未约定逾期付款利息，且当事人希望获得逾期利息的支持，建议咨询专业律师，了解是否存在例外情形或可能的法律途径。
- 保留相关证据：如果当事人认为调解书存在瑕疵或符合特定法律规定，应保留相关证据，以便在执行时向法院提供支持。
可能后果：
- 无法获得逾期利息：如果调解书未约定逾期付款利息，且不存在例外情形，那么当事人在执行时可能无法获得逾期利息的支持。
- 需要承担额外费用：如果当事人试图通过法律途径争取逾期利息，可能需要承担额外的诉讼费用或律师费用。
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