当公司辞退员工时，员工可以根据具体情况提出以下要求：
要求公司说明辞退理由并出示相关证据：
- 根据《劳动合同法》及相关规定，公司辞退员工必须有合法的理由，并遵循一定的程序。员工有权要求公司明确说明辞退的具体原因，并出示相关证据，如员工不符合录用条件的证明、严重违反规章制度的记录、不能胜任工作的考核材料等。这是员工维护自身权益的第一步，也是后续可能进行的法律程序的基础。
要求公司支付经济补偿金（如适用）：
- 在某些情况下，如经济性裁员、合同期满不续签或公司无过失性辞退员工时，公司需按员工工作年限和月工资标准支付经济补偿金。员工应了解自己的工作年限和月工资标准，以便准确计算应得的经济补偿金数额。具体计算公式为：经济补偿金=工作年限×月工资（工作年限满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资）。
要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金（如公司违法辞退）：
- 如果公司辞退员工的行为被认定为违法，如未提前通知、未支付经济补偿金或辞退理由不成立等，员工有权要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金。赔偿金的标准通常为经济补偿金的两倍。员工在提出此要求时，应收集并保存好相关证据，如辞退通知书、工资单、工作记录等，以便在后续的法律程序中证明公司的违法行为。
要求公司办理离职手续并出具离职证明：
- 无论公司辞退员工的原因如何，员工都有权要求公司办理离职手续并出具离职证明。离职手续包括结算工资、社保转移、档案转移等，而离职证明则是员工寻找新工作时的重要证明文件。员工应确保公司已为其办理完所有离职手续，并出具了完整的离职证明，以便顺利过渡到新的工作环境。
针对特定情况提出特殊要求：
- 对于处于特定情况下的员工，如孕期、产期、哺乳期的女职工、因工负伤并被确认丧失或部分丧失劳动能力的员工等，公司不得依据《劳动合同法》第四十条、第四十一条的规定辞退。如果公司违反此规定辞退这些员工，员工除了可以提出上述要求外，还可以根据具体情况提出更高的赔偿要求或要求公司恢复其工作岗位。
法律建议：
- 在面对公司辞退时，员工应保持冷静，首先要求公司说明辞退理由并出示相关证据。
- 如果员工认为公司的辞退行为违法或不合理，可以与公司进行协商，尝试达成和解协议。
- 如果协商无果，员工可以向当地劳动行政部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
- 在整个过程中，员工应收集并保存好所有相关证据，以便在后续的法律程序中证明自己的主张。
可能面临的法律后果：
- 如果员工成功证明公司的辞退行为违法或不合理，公司可能需要支付经济补偿金、赔偿金或恢复员工的工作岗位。
- 如果员工无法提供充分证据证明公司的违法行为，或者公司的辞退行为确实符合法律规定，那么员工可能需要接受辞退结果，并按照公司要求办理离职手续。
总之，当公司辞退员工时，员工应根据自己的具体情况和法律规定提出合理的要求，并采取适当的法律措施来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。