结论：是否继续给逾期付款的客户开发票，需结合合同约定、交易习惯及法律风险综合判断，具体分以下情况处理：

1. 合同有明确约定时，按约定执行

• 若合同中明确约定“买方逾期付款时，卖方仍有权开具发票且发票开具不视为放弃追索权”，则应按合同履行开票义务。此时开票是合同义务的延续，不影响后续追讨欠款的权利。
• 法律依据：根据《民法典》第509条，当事人应按约定全面履行义务。合同条款对双方有约束力，除非存在法定无效情形（如显失公平、欺诈等）。

2. 合同无约定时，需评估交易风险

• 可暂停开票的情形：若客户长期逾期且无还款意愿，继续开票可能导致以下风险：
  • 税务风险：发票开具后需申报纳税，若客户未付款，卖方可能面临“垫付税款”损失；
  • 证据风险：部分法院可能将“开票”视为对付款义务的认可，影响后续诉讼中主张逾期违约金或解除合同的效力。
• 建议操作：
  1. 书面催告：先向客户发送《逾期付款催告函》，明确要求限期付款，并保留送达证据；
  2. 暂停开票：若催告后仍无回应，可暂停开票，但需同步准备诉讼材料（如合同、送货单、对账单等）；
  3. 协商补充协议：与客户签订补充协议，明确“逾期付款时，卖方有权暂停开票直至款项结清”。

3. 特殊行业或交易习惯的考量

• 增值税专用发票：若客户要求开具专票用于抵扣，卖方需注意《增值税暂行条例》中“先开票后付款”的例外情形。实践中，税务机关通常允许在合同有约定或交易习惯支持的情况下先开票，但需保留客户确认收票的证据（如签收单）。
• 预付款交易：若合同约定“先款后货”，但客户已支付部分预付款，剩余款项逾期，此时开票需谨慎。建议分阶段开票，即每笔到款对应开具部分发票，避免超前开票。

4. 法律救济途径

• 若客户恶意拖欠，卖方可采取以下措施：
  1. 行使不安抗辩权：根据《民法典》第527条，若客户经营状况恶化（如停业、被列为失信被执行人），可中止履行开票义务，并通知对方；
  2. 起诉追偿：准备证据后向法院起诉，要求支付货款、逾期利息及违约金；
  3. 申请财产保全：起诉时同步申请冻结客户银行账户或等值财产，防止转移资产。

总结建议：

• 短期逾期且客户信誉良好：可继续开票，但需同步催款并保留证据；
  
• 长期逾期或客户失联：立即暂停开票，委托律师发送律师函，并准备诉讼；
  
• 合同条款不明确时：尽快通过补充协议明确权利义务，降低风险。
  

如有具体合同文本或交易细节，可进一步提供，我会为您分析条款效力及风险点。