公职人员留下遗书后到工作单位加班上吊死亡，一般不能认定为工伤。以下从工伤认定的条件、自杀行为的法律定性以及可能的例外情形等角度进行详细分析：

工伤认定的基本条件

根据《工伤保险条例》的规定，工伤认定通常需要考虑三个重要因素：

1. 工作时间和工作场所：事故必须发生在工作时间和工作场所内。工作时间是指法律规定或者单位要求职工工作的时间，工作场所则是指职工日常工作所在的场所，以及领导临时指派职工从事工作的场所。
2. 工作原因：职工受到的伤害必须与工作有关。这包括因工作原因受到事故伤害的，因履行工作职责受到暴力等意外伤害的，以及患职业病的等。
3. 主观过错：除了劳动者本人故意造成事故伤害以外，即使劳动者有过失或者重大过失，仍然认定为工伤。这是工伤认定中的“无过错补偿”原则。

自杀行为的法律定性

在本案中，公职人员留下遗书后到工作单位加班上吊死亡，这一行为被认定为自杀。根据《工伤保险条例》的规定，如果伤害是由于职工故意犯罪、醉酒或者吸毒、自残或者自杀等原因造成的，则不得认定为工伤。因此，从法律定性上看，自杀行为是排除在工伤认定之外的。

可能的例外情形

虽然自杀行为一般不得认定为工伤，但在某些特殊情况下，如果能够证明自杀行为与工作有直接的因果关系，或者自杀行为是工作压力、工作环境等因素导致的直接结果，那么可能会存在认定为工伤的例外情形。然而，这种例外情形的认定需要严格的证据支持，并且在实际操作中非常罕见。

法律建议

1. 收集证据：如果家属认为该公职人员的死亡与工作有直接关系，并希望争取工伤认定，那么需要收集充分的证据来证明这一点。这可能包括工作记录、加班记录、遗书内容、现场勘查报告等。
2. 申请工伤认定：在收集到充分证据后，可以向当地的社会保险行政部门提出工伤认定申请。行政部门将根据提交的证据和法律规定进行综合判断。
3. 寻求法律援助：如果家属在申请工伤认定过程中遇到困难或疑问，可以寻求专业的法律援助。作为专业律师，我可以提供相关的法律咨询和代理服务。