结论：六十岁员工被工厂辞退的补偿问题，需根据是否已享受基本养老保险待遇来具体分析。若已享受，则通常无经济补偿金；若未享受，则有权获得经济补偿金，具体数额根据工作年限和月工资计算。若工厂违法解除劳动合同，还需支付赔偿金。

分析说明：

1. 已享受基本养老保险待遇的情况：

   • 法律背景：根据相关规定，若六十岁员工已开始享受基本养老保险待遇，则与工厂的劳动关系终止。
   • 法律后果：在此情况下，员工通常不再享有经济补偿金。因为劳动关系已经因享受养老保险待遇而自然终止，不属于工厂单方面解除劳动合同的情形。

2. 未享受基本养老保险待遇的情况：

   • 法律背景：若六十岁员工未开始享受基本养老保险待遇，且被工厂辞退，则有权获得经济补偿金。经济补偿金的计算依据《劳动合同法》的相关规定执行。
   • 经济补偿金计算：
     • 计算方式：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
     • 月工资定义：指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
     • 示例：若某员工在工厂工作了10年，月工资为5000元，则经济补偿金为 \(5000 \text{元/月} \times 10 \text{个月} = 50000 \text{元}\)。

3. 违法解除劳动合同的情况：

   • 法律背景：若工厂违反《劳动合同法》规定解除劳动合同，应按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
   • 赔偿金计算：以上述示例为例，若员工被违法辞退，则赔偿金为 \(50000 \text{元} \times 2 = 100000 \text{元}\)。

行动建议：

• 核实养老保险待遇情况：首先，您需要核实自己是否已经开始享受基本养老保险待遇。这将是决定您是否有权获得经济补偿金的关键因素。
• 收集证据：若您未享受养老保险待遇且被工厂辞退，建议您收集相关证据，如劳动合同、工资单、辞退通知等，以证明您的工作年限和月工资水平。
• 协商或法律途径：您可以先与工厂协商经济补偿事宜。若协商无果，您可以向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。

进一步思考：

• 劳动合同与劳务合同的区别：您提到进工厂时签订的是劳动合同，六十岁后签订的是劳务合同。这可能意味着在六十岁后，您与工厂的关系从劳动关系转变为劳务关系。然而，这并不影响您在未享受养老保险待遇且被辞退时获得经济补偿金的权利。因为经济补偿金的支付是基于劳动关系解除的事实，而非合同类型。
• 工厂破产或经济性裁员：若工厂因破产或经济性裁员而辞退您，且您未享受养老保险待遇，工厂仍应按照上述经济补偿标准向您支付补偿金。

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