结论前置：若劳动者在公司连续工作六年，前两次每三年签订一次劳动合同，第三次公司不续签的，劳动者有权要求公司支付经济补偿金，补偿标准为6个月工资。
具体分析：
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条：“有下列情形之一的，劳动合同终止：（一）劳动合同期满的；……”。
- 同时，根据该法第四十六条：“有下列情形之一的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿：……（五）除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，依照本法第四十四条第一项规定终止固定期限劳动合同的；……”。
- 第四十七条规定：“经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿”。
经济补偿计算：
- 劳动者在公司连续工作六年，按照上述法律规定，公司应支付的经济补偿为6个月工资。
- 这里的“月工资”是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
特殊情况说明：
- 如果公司提出维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，而劳动者不同意续订的，则公司无需支付经济补偿。但根据问题描述，并未提及此情况，故默认公司未提出续订或提出的条件低于原合同。
建议行动：
- 劳动者应首先与公司沟通，确认公司不续签劳动合同的决定，并要求公司出具书面终止劳动合同的通知。
- 劳动者有权要求公司按照上述标准支付经济补偿金。
- 若公司拒绝支付或双方就经济补偿金额存在争议，劳动者可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。
注意事项：
- 劳动者在申请仲裁或提起诉讼前，应收集并保存好与公司的劳动合同、工资单、工作证明等相关证据。
- 劳动者应了解并遵守当地的劳动争议处理程序和规定，以确保自己的权益得到有效维护。
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