当劳动者与用人单位已经连续订立了两次固定期限劳动合同，且在第三次签订劳动合同时，若劳动者没有提出订立固定期限劳动合同的要求，根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。若公司不签，将可能面临以下赔偿情况及流程：
一、赔偿方式及标准
双倍工资赔偿：
- 如果用人单位未按规定签订无固定期限劳动合同，从应当签订无固定期限劳动合同的起始时间起，用人单位需每月向劳动者支付双倍工资。这一赔偿旨在惩罚用人单位的违法行为，并保障劳动者的合法权益。
经济补偿：
- 若因用人单位未签订无固定期限劳动合同而导致劳动关系解除，劳动者有权要求经济补偿。经济补偿的标准按照劳动者在本单位的工作年限来计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。这里的月工资是指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
赔偿金：
- 在用人单位违法终止劳动合同的情况下，劳动者除了有权要求经济补偿外，还有权要求支付赔偿金。赔偿金的计算标准为经济补偿标准的两倍，这是对用人单位违法行为的更严厉惩罚。
二、赔偿流程
协商：
- 劳动者首先可以尝试与用人单位进行协商，要求用人单位支付相应的赔偿。在协商过程中，劳动者可以明确自己的权益和赔偿要求，并寻求双方都能接受的解决方案。
仲裁：
- 如果协商不成，劳动者可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁时，劳动者需要提供相关证据来证明自己的工作年限、劳动关系以及用人单位的违法行为。仲裁委员会将根据双方提供的证据和法律规定进行裁决。
诉讼：
- 如果劳动者对仲裁结果不服，可以在规定的时间内向人民法院提起诉讼。通过司法途径，劳动者可以进一步维护自己的合法权益，并寻求更公正的裁决。
三、注意事项
证据收集：
- 在主张赔偿时，劳动者应收集和保留相关证据，如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等。这些证据将有助于证明劳动者的工作年限、劳动关系以及用人单位的违法行为，从而支持劳动者的赔偿要求。
时效问题：
- 劳动者需要注意仲裁时效和诉讼时效的问题。一般来说，仲裁时效和诉讼时效为一年，从劳动者知晓或应当知晓自己的权利被侵害之日起计算。因此，劳动者应及时行使自己的权利，避免超过时效期限。
特殊情况：
- 在某些特殊情况下，如劳动者严重违反公司规章制度或存在其他违法行为，用人单位可能有权拒绝签订无固定期限劳动合同或解除劳动合同。然而，这种情况需要具体分析和判断，并依据相关法律法规执行。
举例说明
假设员工小张在某公司工作了4年零10个月，月工资为6000元。在第三次签订劳动合同时，公司未与小张签订无固定期限劳动合同，并终止了劳动关系。那么，小张有权要求公司支付经济补偿和赔偿金。
- 经济补偿：小张工作年限超过4年半，按5年计算，经济补偿金额为6000元/月 × 5月 = 30000元。
- 赔偿金：若公司是违法终止劳动合同，需支付赔偿金，金额为30000元 × 2 = 60000元。
综上所述，当公司第三次不签无固定期限劳动合同时，劳动者应充分了解自己的权益和赔偿流程，积极收集证据，并通过合法途径维护自己的合法权益。