当监护人不履行其义务时，这是一个涉及法律权益保护的重要问题，需要依据相关法律法规来妥善处理。以下是我为您提供的详细解答：
一、监护人的基本职责
首先，我们需要明确监护人的基本职责。根据《民法典》第三十四条，监护人的主要职责是代理被监护人实施民事法律行为，并保护被监护人的人身权利、财产权利以及其他合法权益。这意味着监护人需要为被监护人的利益着想，确保其权益不受侵害。
二、监护人不履行职责的法律后果
如果监护人不履行其职责，或者侵害了被监护人的合法权益，那么他们应当承担法律责任。这包括但不限于民事赔偿、行政处罚，甚至在严重情况下可能面临刑事责任。
三、应对监护人不履行职责的措施
临时生活照料措施：
- 在紧急情况下，如监护人暂时无法履行职责，被监护人的生活处于无人照料状态时，根据《民法典》第三十四条，被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门应当为被监护人安排必要的临时生活照料措施。
申请撤销监护人资格：
- 如果监护人存在严重损害被监护人身心健康的行为，或者怠于履行监护职责导致被监护人处于危困状态，根据《民法典》第三十六条，有关个人或组织（如居民委员会、村民委员会、学校、医疗机构、妇女联合会等）可以向人民法院申请撤销其监护人资格。
- 人民法院在受理申请后，会进行调查并作出判决。如果判决撤销监护人资格，人民法院会按照最有利于被监护人的原则依法指定新的监护人。
指定新的监护人：
- 在没有依法具有监护资格的人的情况下，根据《民法典》第三十二条，监护人可以由民政部门担任，也可以由具备履行监护职责条件的被监护人住所地的居民委员会、村民委员会担任。
- 如果被监护人是未成年人，且没有合适人员和其他单位担任监护人，人民法院应当指定民政部门担任监护人，由其所属儿童福利机构收留抚养。
四、实际案例与法律分析
以某实际案例为例，某监护人因遗弃亲生子女被法院判处有期徒刑，并因其行为严重损害了子女的合法权益和身心健康，被法院撤销了监护人资格。随后，由民政部门担任了新的监护人，确保了被监护人的基本生活和权益。
五、建议与行动
- 如果您发现监护人不履行其职责，首先可以尝试与监护人沟通，了解其不履行职责的原因，并尝试解决问题。
- 如果沟通无果，您可以向被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门报告，请求他们采取必要的临时生活照料措施。
- 如果情况严重，您还可以向人民法院申请撤销监护人资格，并指定新的监护人。
总之，当监护人不履行其义务时，我们有多种法律途径来保护被监护人的权益。希望这些信息能对您有所帮助，如果您有任何进一步的问题或需要具体的法律帮助，请随时咨询。