当遇到第一监护人不履行监护职责的情况时，这是一个涉及未成年人权益保护的重要问题，需要采取一系列措施来确保未成年人的安全和福祉。以下是一些详细的建议：

一、立即报告

首先，任何发现第一监护人不履行监护职责的单位或个人，如学校、幼儿园、医疗机构、村（居）委会、社会工作服务机构等，都应当在第一时间向公安机关报告。这是基于强制报告机制的要求，旨在及时介入并保护未成年人的安全。

二、公安机关介入

公安机关在接到报告后，会及时受理并第一时间出警调查。他们会根据具体情况采取应急处置措施，如：

• 对于联系不上困境未成年人父母的，会就近护送至其他近亲属、村（居）委会或救助管理机构、福利机构进行临时监护照料。
• 对于遭受家庭暴力的未成年人，会依法制止暴力行为，并必要时通知并协助相关部门将其安置到临时庇护场所、救助管理机构或福利机构实施保护。
• 对于遭受其他不法侵害或意外伤害的未成年人，同样会依法制止侵害行为并实施保护。

三、评估与帮扶

镇政府（街道办事处）在接到公安机关通报后，会会同区（市）民政部门、公安机关等，在相关机构和亲属的协助下，对困境未成年人的安全处境、监护情况、身心健康状况等进行调查评估。根据评估结果，他们会针对性地安排监护指导、医疗救治、心理疏导、行为矫治、法律服务、法律援助等专业服务。

四、监护干预

如果第一监护人长期不履行监护职责，且经教育不改正，相关部门会采取进一步的监护干预措施。这包括：

• 对于失去父母或查找不到生父母的未成年人，会纳入孤儿安置渠道，采取亲属抚养、机构养育、家庭寄养和依法收养等方式妥善安置。
• 对于父母没有监护能力且无其他监护人的未成年人，以及人民法院指定由民政部门担任监护人的未成年人，会由民政部门设立的儿童福利机构收留抚养。
• 对于未成年人生父母或收养关系已成立的养父母不履行监护职责且经公安机关教育不改正的，会由民政部门设立的儿童福利机构、救助保护机构进行临时监护，并依法追究其法律责任。

五、法律追责与亲职教育

根据相关法律法规，如《未成年人保护法》和《预防未成年人犯罪法》，父母或其他监护人不依法履行监护职责的，会受到训诫、制止，甚至行政处罚。同时，为了提升监护人的教育素质和能力，还会推行亲职教育，即对父母进行关于如何正确履行监护职责的教育和指导。

六、申请撤销监护人资格

在极端情况下，如果监护人将困境未成年人置于无人监管和照看状态导致其面临危险且经教育不改正，或者拒不履行监护职责6个月以上导致困境未成年人生活无着落，或者实施家庭暴力、虐待或遗弃困境未成年人导致其身心健康严重受损的，相关人员或单位可以依法向人民法院申请撤销监护人资格，并另行指定监护人。

综上所述，当遇到第一监护人不履行监护职责的情况时，应当通过报告、公安机关介入、评估与帮扶、监护干预、法律追责与亲职教育以及申请撤销监护人资格等一系列措施来确保未成年人的权益得到保护。