当存在仲裁协议时，法院处理案件的方式会依据仲裁协议的效力及相关法律规定来展开。以下是对这一问题的详细解答：
一、仲裁协议有效时的处理
不予受理或驳回起诉：
- 若仲裁协议有效，法院会尊重当事人的意愿，裁定不予受理该案件，或者驳回起诉。这是因为仲裁协议具有排除法院管辖的效力，既然双方已经约定通过仲裁解决纠纷，法院就不会再介入。
交由仲裁机构处理：
- 法院会将案件交由约定的仲裁机构去处理，由仲裁机构根据仲裁规则进行裁决。
二、仲裁协议无效时的处理
继续审理案件：
- 如果仲裁协议无效，法院则有权继续审理该案件。法院会对仲裁协议的效力进行审查，一旦认定其无效，就可以行使管辖权。
审查仲裁协议无效的原因：
- 法院在审查仲裁协议无效时，会考虑多种因素，如协议是否违反法律强制性规定、是否缺乏必要的条款、是否双方意思表示不真实等。
三、仲裁裁决作出后的处理
形式审查：
- 仲裁裁决作出后，法院会对其进行形式方面的审查，如核查裁决书是否符合法定的形式、是否包含必要的要素等。
承认并执行裁决：
- 如果裁决符合法定形式且不存在可撤销的情形，法院会裁定承认并执行该仲裁裁决。这意味着裁决具有法律效力，当事人必须履行。
撤销裁决的申请：
- 如果存在可撤销的情形，如仲裁程序违反法定程序、裁决所依据的证据是伪造的等，当事人可以向法院申请撤销裁决。法院经过审查后，会作出是否撤销的裁定。
四、特殊情况的处理
仲裁协议约定不明确：
- 如果仲裁协议约定不明确，导致双方对仲裁管辖产生争议，法院会根据相关法律规定和案件实际情况，对仲裁协议的效力进行解释和认定。
一方未声明有仲裁协议而起诉：
- 如果一方当事人跑去法院起诉却没声明有仲裁协议，法院在受理案件后，另一方当事人可以在首次开庭前提交仲裁协议。法院会审查仲裁协议的效力，如果有效，法院应驳回起诉。
五、对裁决执行的规定
- 根据《仲裁法》和《民事诉讼法》，有仲裁协议且仲裁裁决生效后，一方当事人不履行的，另一方可以向有管辖权的法院申请执行。对于国内仲裁裁决，由被执行人住所地或被执行财产所在地的中级人民法院管辖；涉外仲裁裁决，由被申请人住所地或财产所在地的中级人民法院管辖。
六、法院不受理裁决时的应对
- 如果存在有效的仲裁协议，法院本不应受理该纠纷。若法院受理了，另一方当事人可在首次开庭前提交仲裁协议，法院会审查。经审查仲裁协议有效，法院应驳回起诉。若已作出裁决，当事人可依据相关法律规定处理，如上诉请求上级法院撤销原裁决或申请再审等。
综上所述，当存在仲裁协议时，法院会根据仲裁协议的效力及相关法律规定来处理案件。如果仲裁协议有效，法院会尊重当事人的意愿并交由仲裁机构处理；如果仲裁协议无效或存在其他特殊情况，法院则会行使管辖权并继续审理案件。同时，法院也会对仲裁裁决进行形式审查，并根据审查结果作出相应的裁定。