结论：在符合法律规定的情况下，用人单位辞退在公司连续工作了十年的老员工且无需支付经济补偿金，主要基于员工存在过错或违法行为等特定情形。但务必确保辞退行为合法合规，并严格遵循法定程序，以避免法律风险。
分析：
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，以下是一些公司可以辞退老员工且无需支付经济补偿金的情形：
试用期间不符合录用条件：
- 虽然老员工在公司工作多年，但如果因岗位调整等原因重新约定了试用期，且在试用期内被证明不符合明确的录用条件，公司有权解除劳动合同且不支付补偿。不过，这种情况在实际操作中较为罕见，因为老员工通常已经通过了公司的试用期考核。
严重违反用人单位规章制度：
- 若老员工存在如多次迟到早退、旷工、泄露公司机密等严重违规行为，且公司的规章制度符合法律规定的制定程序并已向员工公示，公司有权解除劳动合同且不支付补偿。在此情况下，公司需收集充分的证据，如考勤记录、违纪通知、证人证言等，以证明员工的违规行为。
严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害：
- 若老员工因严重失职给公司造成重大损害，或利用职务之便进行营私舞弊等违法行为，公司有权依据相关证据辞退员工且不支付经济补偿。在此情况下，公司需明确“重大损害”的标准，并在规章制度中规定，同时收集确凿的证据证明失职、舞弊行为及损害后果。
同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正：
- 若老员工在未解除本单位劳动合同的情况下，与其他单位建立劳动关系，且影响本职工作完成或经公司提醒仍不改正，公司有权解除劳动合同且不支付补偿。在此情况下，公司需提供证据证明员工同时与其他单位建立劳动关系，如劳动合同、工资发放记录等，并证明兼职行为对本单位工作任务造成了严重影响。
因欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使公司在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，致使劳动合同无效：
- 若老员工以欺诈、胁迫手段或乘人之危使公司在违背真实意思的情况下订立劳动合同，该合同无效，公司有权解除合同且不支付补偿。在此情况下，公司需收集证据证明欺诈、胁迫或乘人之危行为，以及导致的合同无效。
被依法追究刑事责任：
- 若老员工被人民法院判处刑罚，如管制、拘役、有期徒刑等，公司有权依据司法机关的判决、裁定等法律文书解除劳动合同且不支付补偿。
建议与后果：
- 确保辞退行为合法合规：公司在辞退老员工时，务必确保辞退行为基于合法的理由，并严格遵循法定程序。否则，公司可能面临支付经济补偿金或赔偿金的风险。
- 收集并保留证据：在辞退老员工前，公司应收集充分的证据以证明员工的过错或违法行为。这些证据将作为公司辞退员工且不支付补偿的依据。
- 考虑辞退对员工的影响：辞退老员工可能对员工的生活和职业产生重大影响。因此，公司在做出辞退决定前，应充分考虑辞退对员工的影响，并尽量采取妥善的方式处理。
- 避免法律风险：如果公司在辞退老员工时违反了法律规定或程序，可能面临法律风险。例如，员工可能提起劳动仲裁或诉讼，要求公司支付经济补偿金或赔偿金。
举例：
假设某老员工因严重违反公司规章制度（如多次旷工）被公司辞退。在此情况下，公司需确保规章制度符合法律规定的制定程序并已向员工公示，同时收集充分的证据证明员工的旷工行为。如果公司能够证明这些事实，那么公司有权解除劳动合同且不支付经济补偿。
总之，公司在辞退老员工时务必谨慎行事，确保辞退行为合法合规，并严格遵循法定程序。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。