可以签订无固定期限劳动合同。以下从不同角度为您详细分析：

法律依据角度

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者在用人单位连续工作满十年的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。您被派遣至同一家单位工作12年，之后转成和该单位直签，由于您已经满足了在该单位连续工作满十年的条件，因此您有权提出签订无固定期限劳动合同，且单位应当与您签订。

实际操作角度

1. 提出签订请求：在劳动合同到期前或者双方协商续订劳动合同时，您应当明确向单位提出签订无固定期限劳动合同的请求。这是您的权利，也是确保您权益的重要步骤。
2. 单位回应：单位在收到您的请求后，应当与您进行协商，并就是否签订无固定期限劳动合同给出明确回应。如果单位同意签订，那么双方应当签订无固定期限劳动合同；如果单位拒绝签订，那么您需要进一步考虑维权措施。
3. 维权措施：如果单位拒绝与您签订无固定期限劳动合同，您可以向当地劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁，要求单位承担相应的法律责任。根据法律规定，单位违反规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。

注意事项角度

1. 保留证据：在提出签订无固定期限劳动合同的请求前，您应当保留好与单位存在劳动关系的证据，如劳动合同、工资单、工作证等。这些证据将在您维权时发挥重要作用。
2. 了解单位情况：在提出请求前，您也可以了解单位的情况，如单位的经营状况、用工政策等。这有助于您更好地与单位进行协商，并预测单位可能的回应。
3. 咨询专业人士：如果您对签订无固定期限劳动合同的相关法律问题存在疑问，或者担心自己的权益受到侵害，您可以咨询专业律师或者劳动法律顾问。他们将为您提供专业的法律建议和帮助。

总结建议：您被派遣至同一家单位工作12年后转成和该单位直签，有权提出签订无固定期限劳动合同。在提出请求时，您应当明确自己的权利，并保留好相关证据。如果单位拒绝签订，您可以采取维权措施来保护自己的权益。如果您在操作过程中遇到任何问题或者需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。