结论前置：

1. 一般情况下，连续订立两次固定期限劳动合同后，若满足相关条件，第六次签订时劳动者有权要求签订无固定期限劳动合同。
2. 但若劳动者在签订过程中存在法定过错情形，或主动提出签订固定期限劳动合同，则可能无法签订无固定期限劳动合同。

详细解释与分析：

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，无固定期限劳动合同的签订主要基于劳动者的工作年限、劳动合同签订次数以及劳动者的意愿等因素。针对您提出的问题，即签订5次固定期限合同后，第六次是否可以要求签无固定期限劳动合同，我们可以从以下几个方面进行分析：

一、劳动合同签订次数与无固定期限劳动合同的关系

根据《劳动合同法》的规定，连续订立两次固定期限劳动合同后，若劳动者没有法定过错情形，且提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者主动提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。这里的“连续订立两次”是关键，它强调了劳动合同的连续性和稳定性。因此，在您的情况下，如果已经连续订立了五次固定期限劳动合同，且每次都是连续的，没有中断，那么在第六次签订时，您有权要求签订无固定期限劳动合同，前提是您没有法定过错情形，并且提出了或者同意续订、订立劳动合同。

二、劳动者法定过错情形的排除

在签订无固定期限劳动合同时，需要排除劳动者存在法定过错情形的可能性。这些情形包括但不限于：在试用期间被证明不符合录用条件、严重违反用人单位的规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等。如果劳动者存在这些情形之一，用人单位有权解除劳动合同，并且无需签订无固定期限劳动合同。

三、劳动者意愿的表达

除了满足连续订立两次固定期限劳动合同和无法定过错情形的条件外，劳动者还需要表达出续订或订立无固定期限劳动合同的意愿。如果劳动者在签订过程中主动提出签订固定期限劳动合同，那么用人单位就无需签订无固定期限劳动合同。

四、特殊情况下的考虑

虽然一般情况下连续订立两次固定期限劳动合同后就可以要求签订无固定期限劳动合同，但也有一些特殊情况需要考虑。例如，如果用人单位在初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，与劳动者连续订立了多次固定期限劳动合同，但劳动者在该用人单位连续工作未满十年且距法定退休年龄超过十年，那么在这种情况下，可能无法直接要求签订无固定期限劳动合同。不过，这并不影响在满足连续订立两次固定期限劳动合同且无法定过错情形的条件下签订无固定期限劳动合同的权利。

法律建议与后果：

• 如果您已经连续订立了五次固定期限劳动合同，并且每次都是连续的，没有中断，同时您没有法定过错情形，并且表达了续订或订立无固定期限劳动合同的意愿，那么在第六次签订时，您有权要求签订无固定期限劳动合同。
• 如果用人单位拒绝签订无固定期限劳动合同，您可以考虑通过法律途径维护自己的权益，如向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼。
• 在签订劳动合同时，建议您仔细阅读合同条款，确保自己的权益得到充分保障。如果有任何疑问或不确定的地方，可以及时向用人单位或专业律师咨询。

总结与展望：

签订无固定期限劳动合同是劳动者的一项重要权益，它有助于保障劳动关系的稳定性和劳动者的职业发展空间。在签订过程中，劳动者需要了解自己的权益和义务，同时用人单位也需要遵守相关法律法规，确保劳动关系的和谐稳定。如果您在签订无固定期限劳动合同过程中遇到任何问题或困惑，可以直接向我咨询，我将竭诚为您提供专业的法律服务和支持。