核心结论：工人可先通过协商、投诉等途径解决工资发放问题，若无法解决，可依法申请劳动仲裁或提起诉讼；同时，对于擅自离职问题，需根据具体情况判断是否需承担责任。以下是具体分析：

核心前提：工人家中有急事需立即回家，但工厂未批准其离职申请，且未发放工资，工人现已回到老家。

具体分析：

1. 关于工资发放问题：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动法》第五十条：“工资应当以货币形式按月支付给劳动者本人。不得克扣或者无故拖欠劳动者的工资。”工厂未发放工资的行为违反了法律规定。
   • 解决途径：
     • 协商：工人可尝试与工厂进行协商，要求工厂立即支付拖欠的工资。
     • 投诉：若协商无果，工人可向当地劳动监察部门投诉，请求劳动监察部门介入调查并责令工厂支付工资。
     • 劳动仲裁或诉讼：若投诉仍未解决问题，工人可依法向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或直接向人民法院提起诉讼，要求工厂支付拖欠的工资及可能的赔偿金。

2. 关于擅自离职问题：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十七条：“劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。劳动者在试用期内提前三日通知用人单位，可以解除劳动合同。”若工人未按照法律规定提前通知工厂即擅自离职，可能构成违约。
   • 责任承担：
     • 若合同有约定：若工人与工厂签订的劳动合同中明确约定了擅自离职需承担的责任（如赔偿损失等），则工人需按照合同约定承担责任。
     • 若合同无约定或约定不明：若劳动合同中未明确约定擅自离职的责任，或约定不明确，则工人可能无需承担过重的责任。但工厂仍可要求工人赔偿因擅自离职给工厂造成的直接经济损失（如招聘替代人员的费用、生产中断的损失等），但需提供充分证据证明损失的存在及金额。

3. 建议行动：

   • 收集证据：工人应收集与工厂存在劳动关系的证据（如劳动合同、工资条、工作证等）以及工厂拖欠工资的证据（如银行转账记录、工资条、同事证言等）。
   • 及时行动：工人应尽快采取上述解决途径，避免因拖延时间而增加维权难度。
   • 法律援助：若工人在维权过程中遇到困难，可寻求当地法律援助机构的帮助。