针对您提出的“体制内教师平调原单位不放人怎么办”的问题，以下是我从多个角度给出的详细解答：
一、协商解决是首选
直接沟通：
- 您可以主动与原单位领导和相关负责人进行坦诚沟通，明确表达您的调动意愿和原因。了解不放人的具体原因，如是否因师资紧张、未完成项目等，并尝试协商解决方案，如承诺协助完成相关工作、提出过渡性安排等。
邀请第三方参与：
- 如果直接沟通无效，您可以邀请工会或第三方机构（如教育行政部门）参与协商，以中立身份协助双方达成和解协议。教育行政部门作为学校的主管部门，具有指导权限，可以推动问题的解决。
二、依法提出离职申请
提前通知：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》及《事业单位人事管理条例》，您可以提前30日（试用期提前3日）书面通知用人单位解除劳动合同或聘用合同。这是您的合法权利，无需原单位批准。
审查合同条款：
- 在提出离职申请前，请仔细审查劳动合同或聘用合同中关于调动、离职的条款，确保您的行为符合合同约定，避免违约风险。
保留证据：
- 在提出离职申请时，请保留好离职申请书、邮寄凭证等相关证据，以备后续可能出现的争议。
三、法律途径维护权益
申请劳动仲裁：
- 如果原单位在您提出离职后仍不放人，或双方在离职过程中发生争议，您可以向当地劳动人事争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁委员会将根据双方提供的证据和法律规定进行裁决，保障您的合法权益。
提起诉讼：
- 如果您对仲裁裁决不服，可以向人民法院提起诉讼，通过司法途径进一步维护自己的权益。
寻求法律援助：
- 在整个过程中，如果您需要法律援助或法律咨询，可以向当地的法律援助机构或律师事务所寻求帮助，获取专业的法律支持。
四、其他注意事项与建议
考虑新单位态度：
- 及时与拟调入的新单位保持沟通，了解其对于目前情况的看法和态度。新单位可能提供协助或支持，如出具商调函等，共同推动调动事宜的解决。
提前了解政策：
- 提前了解相关政策规定，如基层服务年限等，做好充分准备，争取政策支持。这有助于您在调动过程中避免不必要的障碍。
向上级领导反映：
- 如果原单位故意刁难或拒绝放人且无正当理由，您可以向上级领导或相关部门反映情况，寻求更高层面的帮助和支持。
总结与建议：面对原单位不放人的情况，您应首先尝试通过协商解决。如果协商无果，可以依法提出离职申请，并保留好相关证据。如原单位仍不配合，您可以通过申请劳动仲裁或提起诉讼来维护自己的权益。在整个过程中，建议您保持冷静和理性，依法行事，并寻求专业的法律支持。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。