员工在第二次劳动合同到期时，并没有强制性的权利要求公司必须续签，但根据具体情况，员工可能享有要求续签或获得经济补偿的权利。以下是对此问题的详细分析：
一、法律背景与规定
劳动合同到期终止：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，当劳动合同期满时，劳动合同会自动终止。这意味着，除非双方有特别约定或法律另有规定，否则合同到期后，双方的权利义务关系即告结束。
无固定期限劳动合同的订立：然而，如果员工已经与公司连续订立了两次固定期限劳动合同，并且没有出现《劳动合同法》第三十九条（如严重违反规章制度、失职等）和第四十条第一项、第二项（如不能胜任工作、医疗期满后不能从事原工作等）规定的情形，那么在续订劳动合同时，除员工提出订立固定期限劳动合同外，公司应当与员工订立无固定期限劳动合同。这是法律对员工的一种保护，旨在防止公司通过不断签订短期合同来规避对员工的长期责任。
二、员工的具体权利与应对措施
要求续签的权利：
- 如果员工希望继续在公司工作，并且符合订立无固定期限劳动合同的条件，那么员工有权要求公司续签劳动合同。此时，员工可以以书面形式向公司表达续签意愿，并明确表明自身希望继续在公司工作，延续劳动合同关系。
- 如果公司同意续签，双方可就新合同的条款进行协商，包括工作岗位、薪资待遇、工作地点等关键内容。协商一致后，签订新的劳动合同。
获得经济补偿的权利：
- 如果公司不同意续签劳动合同，并且不符合“用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订”的情形，那么公司需要向员工支付经济补偿金。
- 经济补偿金的计算基数为劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。具体计算方式为：每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
三、具体应对措施与建议
与公司协商：
- 员工可以主动与公司的人力资源部门或管理层进行沟通，了解不续签的具体原因。
- 尝试协商是否有可能继续留任或获得更好的离职补偿方案。
要求支付经济补偿金：
- 如果公司拒绝续签并且不符合免除支付经济补偿金的情形，员工有权要求公司按照法律规定支付经济补偿金。
申请劳动仲裁或提起诉讼：
- 如果公司拒绝支付经济补偿金或双方对补偿金额存在争议，员工可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 若对仲裁结果不满意，员工还可以向人民法院提起诉讼。
四、注意事项
- 及时行动：员工应在合同到期后及时与公司沟通并采取相应的法律措施，以免错过维权时机。
- 保留证据：在整个过程中，员工应妥善保留所有与劳动关系相关的证据材料，如劳动合同、工资条、工作证等，以备不时之需。
- 了解法律程序：在申请仲裁或提起诉讼前，建议员工了解具体的法律程序和维权途径，以便更好地维护自己的合法权益。
综上所述，员工在第二次劳动合同到期时，虽然并没有强制性的权利要求公司必须续签，但根据具体情况，员工可能享有要求续签或获得经济补偿的权利。如果遇到相关问题，员工可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议。