针对您提出的“员工合同第二次到期，公司可以不续签吗”这一问题，以下是我的详细解答：

一、一般情况下的处理原则

在员工与公司连续订立二次固定期限劳动合同后，若员工没有严重违反公司规章制度等法定过错情形，也未出现非因工负伤、不能胜任工作等法定可以解除或终止劳动合同的情形，且员工提出或同意续订劳动合同，同时未要求订立固定期限劳动合同，那么公司应当与员工订立无固定期限劳动合同。这是根据《劳动合同法》的相关规定来执行的，旨在保护员工的长期就业权益。

二、公司不续签的合法情形

尽管有上述规定，但公司也并非在所有情况下都必须续签劳动合同。在以下特定情形下，公司可以选择不续签：

1. 员工存在严重违反公司规章制度等法定过错情形，如盗窃、贪污、严重失职等；
2. 劳动合同期满，但员工开始依法享受基本养老保险待遇，或者达到法定退休年龄；
3. 员工因非因工负伤或患病，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作；
4. 员工不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作；
5. 劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经公司与员工协商，未能就变更劳动合同内容达成协议。

三、公司不续签的法律后果

若公司决定不续签劳动合同，且不存在上述合法不续签的情形，那么公司的行为可能构成违法终止劳动合同。在这种情况下，员工有权要求公司支付违法终止劳动合同的赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍。经济补偿的计算标准通常依据员工在公司的工作年限和月工资来确定。

四、建议与注意事项

1. 公司方面：在决定是否续签劳动合同时，公司应全面评估员工的工作表现、工作态度、工作能力等方面，并充分考虑公司的经营需要和发展战略。同时，公司应确保决策过程的合法性和公正性，避免因不当处理而引发法律纠纷或损害公司声誉。
2. 员工方面：若员工遇到公司不续签劳动合同的情况，且认为自己符合签订无固定期限劳动合同的条件或公司存在违法终止劳动合同的行为，建议及时咨询当地的劳动监察部门或专业律师，以便准确了解自己的权益和应获得的补偿金额。

综上所述，员工合同第二次到期后，公司是否可以不续签取决于多种因素。在做出决策前，公司应充分了解并遵守相关法律法规，确保合法用工；员工也应了解自己的权益和应获得的补偿金额，以便在必要时维护自己的合法权益。