结论前置：劳动者工作22个月未签订劳动合同且被解雇时，有权依据《中华人民共和国劳动合同法》要求用人单位支付双倍工资赔偿（部分时段）及违法解除劳动合同的赔偿金。具体赔偿数额需根据劳动者的工资水平、工作年限及当地法律法规确定，并应注意仲裁时效的限制。
一、未签订劳动合同的双倍工资赔偿
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。
赔偿期限与计算方式：
- 在您工作22个月的情况下，自用工第二个月起至满一年（即11个月），用人单位应支付双倍工资。
- 计算方式为：这11个月的双倍工资是在您原本工资基础上再额外支付一倍。例如，月工资5000元，则额外赔偿为5000元×11个月=55000元。
仲裁时效：
- 申请劳动仲裁的时效一般为一年，从当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。具体时效起算点可能因地区而异，但通常是从用工满一年之日起算，因此您应及时主张权益，避免超过时效。
二、违法解除劳动合同的赔偿
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
赔偿标准：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 在您工作了22个月的情况下，经济补偿为2个月工资。违法解除的赔偿金则是经济补偿标准的二倍，即4个月工资。
工资计算基数：
- 月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。若月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
三、具体操作建议
收集证据：
- 为证明劳动关系及被违法解雇事实，您应收集工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言、解除劳动关系通知等证据。
协商解决：
- 您可以尝试与用人单位协商，要求其依法支付赔偿。友好沟通有助于节省时间和精力，同时也有助于维护良好的劳资关系。
申请劳动仲裁：
- 若协商不成，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁时，您需要提交仲裁申请书、身份证明、证据材料等。仲裁委员会将审理案件并作出裁决。
提起诉讼：
- 若对仲裁结果不满意，您可以在规定期限内向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护自己的合法权益。
总结：劳动者在工作22个月未签订劳动合同且被解雇的情况下，应依法主张双倍工资赔偿（部分时段）及违法解除劳动合同的赔偿金。同时，注意保留证据、及时主张权益，并通过合法途径维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。