结论前置：
员工提醒公司的权利与义务
在劳动合同即将到期之际，员工完全有权利提醒公司是否需要续签合同。这一行为不仅是对自身权益的维护，也是对劳动关系稳定性的促进。劳动合同是劳动者与用人单位之间确立劳动关系、明确双方权利和义务的协议，其续签与否直接关系到劳动者的切身利益。因此，员工在合同到期前提醒公司续签，是合理且必要的。
公司未续签的法律后果
若公司在劳动合同到期后未与员工续签，且未提出终止劳动关系，那么根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司需要向员工支付经济补偿金。经济补偿金的计算标准通常与员工在公司的工作年限以及月工资水平相关。具体来说：
员工应如何应对
及时提醒：在劳动合同到期前，员工应主动与公司沟通，了解公司是否打算续签合同。这可以通过书面或口头形式进行，但建议保留相关证据，如邮件、短信等。
了解权益：员工应了解自己在劳动合同到期后的权益，包括经济补偿金的计算标准和支付条件。这有助于员工在必要时维护自己的合法权益。
协商解决：如果公司未提出续签且未支付经济补偿金，员工可以与公司进行协商，寻求解决方案。协商过程中，员工应保持冷静和理性，避免情绪化行为。
法律途径：如果协商无果，员工可以通过法律途径维护自己的权益。这包括向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼。
特殊情况下的处理
在某些特殊情况下，如公司因经营困难等原因无法续签劳动合同，员工应理解公司的处境，并尝试与公司协商达成合理的解决方案。同时，员工也可以关注政府或相关机构提供的就业援助和再就业服务，以减轻失业带来的经济压力。
总结与建议：
员工在劳动合同到期前有权提醒公司续签合同，这是维护自身权益的正当行为。若公司未续签且未提出终止劳动关系，员工有权要求公司支付经济补偿金。在处理此类问题时，员工应了解自己的权益和法律规定，通过协商或法律途径维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。