私人厂未签劳动合同被辞退，劳动者通常有权获得赔偿。以下从不同角度为您详细分析：

一、未签订劳动合同的赔偿

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果您在私人厂工作超过一个月但未满一年，且未签订劳动合同，您有权要求工厂支付未签订劳动合同期间的双倍工资差额。

计算公式：

• 双倍工资差额 = 月工资 × (未签合同月数 - 1)
  • 其中，月工资指您在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
  • 未签合同月数指您实际工作的月数减去第一个月（因为第一个月不支付双倍工资）。

二、违法辞退的赔偿

如果工厂辞退您的行为属于违法解除劳动合同，那么您还有权要求工厂按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。经济补偿按您在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向您支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。

计算公式：

• 经济补偿 = 月工资 × 工作年限（年）
  • 若工作年限不足一年，按实际月数折算（六个月以上按一年，不满六个月按半个月）。
• 赔偿金 = 经济补偿 × 2

三、特殊情况说明

1. 劳动者过错：如果是因为您自身存在严重违反用人单位规章制度等法定情形而被辞退的，那么工厂则无需支付上述赔偿。

2. 证据收集：为了维护自己的合法权益，您需要收集能证明劳动关系存在及辞退事实的证据，如工资支付记录、工作证、辞退通知等。这些证据将在劳动仲裁或诉讼中起到关键作用。

四、维权途径

如果您认为自己的权益受到了侵害，可以通过以下途径维权：

1. 与工厂协商：首先尝试与工厂进行协商，看是否能够达成和解。

2. 向劳动监察部门投诉：如果协商无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉，请求他们介入调查并处理。

3. 申请劳动仲裁：如果投诉仍未解决问题，您可以向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求工厂支付相应的赔偿。

举例说明： 假设您在私人厂工作了8个月，月工资为5000元，且未签订劳动合同。后来，工厂无故辞退了您。那么，您有权要求工厂支付：

• 未签订劳动合同期间的双倍工资差额：5000元 × (8 - 1) = 35000元（因为第一个月不支付双倍工资）。
• 违法辞退的赔偿金：经济补偿为5000元 × 1（因为工作年限超过6个月但不足1年，按1年计算）= 5000元；赔偿金为5000元 × 2 = 10000元。

因此，您总共可以要求工厂支付45000元的赔偿。

建议：在面对此类情况时，务必保持冷静，收集好相关证据，并通过合法途径维护自己的权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。