当市场监管部门在核查过程中发现违法事实不成立时，会依据相关法律法规和程序规定进行处理。以下是对这一情况下市场监管部门可能采取的具体措施的详细解答：

首先，市场监管部门会严格遵守法律法规，确保整个处理过程的合法性和公正性。在核查过程中，若发现没有足够的证据支持违法事实的成立，或者经过深入调查后确认原初的怀疑是不准确的，市场监管部门会依据《中华人民共和国行政处罚法》的相关规定，作出不予行政处罚的决定。

具体来说，市场监管部门会出具一份正式的不予行政处罚决定书，该决定书会明确阐述违法事实不成立的理由和依据，并告知当事人相关权益。这份决定书是市场监管部门对案件处理结果的正式文件，具有法律效力。

同时，如果市场监管部门在初步阶段仅基于初步怀疑而立案，但后续调查表明违法事实不成立，那么市场监管部门会及时撤销立案，并通知相关当事人。这一步骤旨在确保当事人的合法权益不受不当侵害，同时也体现了市场监管部门的严谨性和公正性。

在处理过程中，市场监管部门还会充分保障当事人的知情权、申辩权等合法权益。如果当事人对处理结果有异议，可以依法提出申诉或行政复议，市场监管部门会按照法定程序进行复核和处理。

综上所述，当市场监管部门核查发现违法事实不成立时，会依法作出不予行政处罚或撤销立案的决定，并出具正式文件予以说明。同时，市场监管部门会充分保障当事人的合法权益，确保整个处理过程的合法性和公正性。