当工程合同未约定付款相关事宜时，处理起来需要遵循一定的法律原则和行业惯例。以下是对此问题的详细解答：
一、工程合同未约定付款期限的处理方式
随时请求履行：
- 根据我国相关法律法规，当工程合同中未明确约定付款期限时，权利人（通常是承包方或供应商）享有随时请求对方（通常是发包方）履行付款义务的权利。
- 在请求付款前，应给予对方充分的准备时间，以便其能够妥善处理付款事宜。
参考行业惯例或交易习惯：
- 在没有明确约定的情况下，可以参考同行业的普遍做法或交易的习惯性规则来确定一个合理且公平的付款期限。
- 这有助于双方在没有明确条款的情况下达成一种默契，减少纠纷。
友好协商：
- 双方可以通过友好协商来明确付款期限和其他相关事宜。
- 协商过程中，应充分考虑工程实际情况、双方利益以及行业惯例等因素，以达成共识。
书面催告与违约责任：
- 如果双方未能就付款期限达成共识，权利人可以向对方发出书面催告，要求其务必在合理期限内支付款项。
- 若对方在收到催告后的合理期限内仍然未能支付款项，则视为违约，另一方有权依法主张违约责任，包括要求对方承担逾期付款所产生的利息和其他相应的经济损失。
二、工程合同未约定付款方式的处理建议
补充协议：
- 双方可以就付款方式签订补充协议，明确约定付款的具体方式、时间、金额等。
- 补充协议应作为原工程合同的组成部分，与原合同具有同等法律效力。
参考行业标准：
- 如果没有明确的约定，可以参考行业内的通常做法或标准来确定付款方式。
- 这有助于确保付款方式的合理性和公平性。
法律途径：
- 如果双方无法就付款方式达成一致，且无法通过协商解决纠纷，权利人可以考虑通过法律途径来维护自己的合法权益。
- 这包括向法院提起诉讼或申请仲裁等方式，要求对方履行付款义务并承担相应的法律责任。
三、注意事项
保存证据：
- 无论采取何种方式处理工程合同未约定付款的问题，都应妥善保存所有相关的合同文件、工程进度记录、催告通知等重要证据。
- 这些证据在未来可能出现的法律纠纷中将起到至关重要的作用。
及时沟通：
- 双方应保持及时有效的沟通，以便在出现问题时能够迅速协商解决。
- 这有助于减少误解和纠纷的发生，维护双方的合法权益。
综上所述，当工程合同未约定付款相关事宜时，双方应遵循法律原则和行业惯例，通过友好协商、参考行业标准或法律途径等方式来解决问题。同时，应妥善保存相关证据并及时沟通，以确保双方的合法权益得到有效保障。