工厂无故开除员工是违法解除劳动合同的行为，员工有权要求工厂按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。以下是对此问题的详细解答：

结论：工厂无故开除员工，应支付员工经济补偿标准二倍的赔偿金。

赔偿金的计算：

1. 经济补偿的计算：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按员工在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。
   • 工作年限六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，则支付半个月工资的经济补偿。

2. 月工资的确定：

   • 月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
   • 若员工月工资高于所在地直辖市或设区的市级人民政府公布的上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。

3. 赔偿金的计算：

   • 赔偿金为经济补偿标准的二倍。

举例说明：

• 假设小张在工厂工作3年7个月，平均月工资为5000元。因其工作年限按4年计算，经济补偿为(4 \times 5000 = 20000)元，赔偿金则为(20000 \times 2 = 40000)元。
• 假设小李在工厂工作1年2个月，平均月工资为6000元。因其工作年限按1.5年计算，经济补偿为(1.5 \times 6000 = 9000)元，赔偿金则为(9000 \times 2 = 18000)元。

主张赔偿的途径：

1. 协商解决：首先与工厂进行协商，要求支付赔偿金，并保留相关沟通记录作为证据。
2. 劳动仲裁：协商不成时，可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交仲裁申请书、劳动关系证明及工厂违法解除劳动合同的证据。
3. 诉讼解决：如对仲裁结果不满意，可在规定期限内向人民法院提起诉讼。

建议：

• 在主张权益过程中，务必保留好相关证据，如劳动合同、工资条、工作证、开除通知等。
• 若对赔偿金的计算或主张赔偿的途径有疑问，建议及时向我咨询，以确保自身权益得到充分保障。