外卖商家不开发票是违法的，这一行为违反了《中华人民共和国发票管理办法》和《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，并损害了消费者的合法权益。

首先，从法律依据来看，《中华人民共和国发票管理办法》第十九条明确规定，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，在对外发生经营业务收取款项时，收款方必须向付款方开具发票。外卖商家提供餐饮服务并收取款项，显然属于经营业务范畴，因此有义务向消费者开具发票。同时，《中华人民共和国消费者权益保护法》第二十二条也规定，经营者提供商品或者服务时，应当按照国家有关规定或者商业惯例向消费者出具发票等购货凭证或者服务单据。

如果外卖商家拒不开具发票，将面临一系列的法律后果。税务部门可能会查处此类行为，并视其为偷税漏税，对商家进行罚款、税务稽查，甚至更严重的法律制裁。对于消费者而言，发票是购物或接受服务的合法凭证，具有法律效力。没有发票，消费者在商品或服务出现问题时将难以维权，如退换货、索赔等。

当消费者遇到外卖商家不开发票的情况时，可以采取以下措施来维护自己的权益：

1. 主动向商家索要发票，并保留好相关凭证；
2. 如果商家初次拒绝开具发票，可以尝试与商家进行沟通，明确说明索要发票是自己的合法权益，要求其依法开具；
3. 若商家坚持拒开发票，可以向外卖平台反映情况，要求平台介入处理；
4. 如果上述措施均无效，消费者还可以拨打12366纳税服务热线或直接到当地税务机关进行举报，也可以向当地的消费者协会投诉。税务部门和消费者协会将依法对商家的违法行为进行调查和处理。

综上所述，外卖商家不开发票是明确的违法行为。消费者应积极采取措施维护自己的权益，同时，相关部门也应加强监管，确保法律法规得到有效执行。