外卖商家未给买家发票的行为确实可能涉及违法，具体分析如下：

1. 从税收法律角度
   根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条，商家在销售商品或提供服务时，必须向消费者开具发票。若商家以“不开票可优惠”“系统故障”等理由拒绝开具，属于违法行为。消费者有权要求商家补开发票，若商家仍拒绝，可向当地税务机关举报（如拨打12366纳税服务热线），税务机关将依法对商家处以罚款（通常为1万元以下，情节严重的可更高）。

2. 从消费者权益保护角度
   发票是消费者维权的重要凭证。若因商品质量问题需要退换货、投诉或诉讼，发票是证明交易关系的关键证据。商家拒绝开具发票，可能间接损害消费者的合法权益。此时，消费者除向税务机关举报外，还可依据《消费者权益保护法》向市场监管部门投诉商家“未履行法定义务”。

3. 例外情形说明
   若商家已通过电子发票形式提供（如短信、邮件链接），且消费者未主动索要纸质发票，一般不构成违法。但若消费者明确要求开具发票（纸质或电子），商家仍拒绝，则仍需承担法律责任。

建议行动：

• 若您遇到此类情况，可先与商家沟通要求补开发票；
  
• 若商家拒绝，保留订单截图、聊天记录等证据，向税务机关或市场监管部门举报；
  
• 日常消费中，建议主动索要发票，避免后续维权困难。
  

如有其他细节需要进一步分析（如商家具体拒绝理由、是否涉及金额较大等），可随时向我补充说明。