针对您提出的“签订三次固定期合同后续订劳动合同后不续签”的问题，以下是对此情况的详细解答：

一、法律背景与规定

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，当员工与用人单位连续订立两次固定期限劳动合同后，第三次签订劳动合同时，员工有权要求与用人单位签订无固定期限的劳动合同。若用人单位同意续约，则必须接受员工的这一要求。然而，如果员工自愿选择继续签订固定期限的劳动合同，这也是合理的。

二、不续签劳动合同的后果

1. 用人单位提出不续签：

   • 如果用人单位在劳动合同到期后提出不续签，且员工不存在《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（如严重违反规章制度、不能胜任工作等），则用人单位需要向员工支付经济补偿金。经济补偿金的计算通常是按照员工在本单位的工作年限，每工作一年支付一个月的工资。
   • 如果员工在符合《劳动合同法》第十四条的情况下要求续签无固定期限劳动合同，而用人单位拒绝续签，这将被视为违法解除劳动合同，用人单位需要向员工支付赔偿金，赔偿金通常是经济补偿金的两倍，即每工作一年支付两个月的工资。

2. 劳动者提出不续签：

   • 如果劳动者在劳动合同到期后提出不续签，通常情况下用人单位不需要支付经济补偿金。但有一种例外情况，即如果劳动者是以用人单位提供的新的劳动合同约定的条件降低为由提出不续签的，那么用人单位仍然需要支付经济补偿金。

三、实际案例分析

以您提供的案例为例，小翠与某公司连续签订了三次固定期限劳动合同后，公司提出不续签。尽管公司以经济不景气为由，但这一理由并未在《劳动合同到期不续签通知书》中明确列明，且不属于《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形。因此，仲裁委和法院均认定公司的行为构成违法终止劳动合同，公司需要向小翠支付违法终止劳动合同的赔偿金。

四、建议与总结

• 对于用人单位而言，在劳动合同到期前应提前与员工沟通续签事宜，明确续签意愿和条件。如果决定不续签，应确保理由合法且充分，并避免以劳动合同到期为由直接解除劳动关系。
• 对于劳动者而言，应了解自己的权益和法律规定，特别是在连续签订多次固定期限劳动合同后。如果用人单位提出不续签或降低续签条件，应及时咨询专业法律意见并维护自己的合法权益。

综上所述，签订三次固定期合同后续订劳动合同后不续签的情况涉及多个法律条款和规定。无论是用人单位还是劳动者，都应充分了解相关法律规定并依法行事。