员工不认真工作吊儿郎当被开除，这一行为是否合法，取决于具体情况和公司的规章制度。
首先，我们要明确的是，劳动关系中，雇主有权根据员工的工作表现和管理需要，对员工进行相应的管理，包括解除劳动关系。但是，这种权力的行使必须遵循法律法规和公司规章制度，不能随意为之。
合法开除的情况：
- 如果公司在劳动合同或员工手册等规章制度中，明确规定了员工不认真工作、吊儿郎当等行为属于严重违反公司规章制度，且可以因此解除劳动关系，那么公司在员工确实存在这些行为的情况下，开除员工是合法的。
- 另外，如果员工的不认真工作等行为已经构成了严重失职，给公司造成了重大损害，那么公司也有权根据《劳动合同法》的相关规定，解除与员工的劳动关系。
不合法开除的情况：
- 如果公司没有明确的规章制度规定员工不认真工作等行为可以解除劳动关系，或者员工的行为并未达到严重违反公司规章制度或严重失职的程度，那么公司开除员工就可能构成违法解除劳动关系。
- 在这种情况下，员工有权向劳动仲裁机构或法院提起诉讼，要求公司支付经济补偿金等。
因此，对于员工不认真工作吊儿郎当被开除是否合法的问题，我们不能一概而论。具体要看公司的规章制度、员工的行为情况以及法律法规的规定。如果你在这方面有具体的法律问题或疑问，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况给出更详细的法律建议。