美甲店没有给学员开发票是违法的。下面我将从几个方面详细解释这个问题：

1. 发票的法律意义：发票是记录经营活动、确认交易事实、保障消费者权益的重要凭证。根据《中华人民共和国发票管理办法》的规定，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项时，应当向付款方开具发票。

2. 美甲店的义务：美甲店作为提供服务的单位，当学员支付款项后，有义务向学员开具发票。如果美甲店拒绝开具发票，就违反了发票管理的相关规定。

3. 学员的权益：学员作为消费者，有权要求美甲店开具发票。发票是学员维护自身权益的重要依据，比如在未来出现消费纠纷时，发票可以作为证据来证明交易事实和支付金额。

4. 法律后果：如果美甲店拒绝开具发票，学员可以向税务部门举报。税务部门将会对美甲店进行调查，并根据调查结果给予相应的处罚，如罚款、补缴税款等。同时，学员也可以依据相关法律法规，通过法律途径来维护自己的合法权益。

综上所述，美甲店没有给学员开发票是违法的，学员有权要求美甲店开具发票，并可以在必要时通过法律途径来维护自己的权益。如果你在这方面遇到了问题，可以直接向我咨询。